Question

При каком наибольшее значении параметра а уравнение x2-(a+3)x+a2=0 имеет корень x=3

Answer 1

Существование корней: дискриминант неотрицательный.

$D=(a+3)^2-4a^2=(a+3+2a)(a+3-2a)=3(a+1)(3-a)\geq0$

При $a \in [-1;3]$ квадратное уравнение имеет решения.

Подставим корень х = 3 в исходное уравнение, получим

$3^2-3(a+3)+a^2=0\\ 9-3a-9+a^2=0\\ a^2-3a=0\\ a(a-3)=0\\ a_1=0\\ a_2=3$

Значения параметра а удовлетворяют неравенству -1 ≤ a ≤ 3. Следовательно, наибольшее значение параметра а: a = 3.

Answer 2

Чтобы уравнение $x^2 - (a + 3)x + a^2 = 0$ имело корень $x = 3$, необходимо и достаточно, чтобы при подстановке $x = 3$ в это уравнение оно обращалось в тождество, то есть равнялось нулю.

Подставляя $x = 3$ в уравнение, получаем: $3^2 - (a + 3) \cdot 3 + a^2 = 0$

Упрощаем: $9 - 3(a + 3) + a^2 = 0$

Раскрываем скобки: $9 - 3a - 9 + a^2 = 0$

Упрощаем дальше: $-3a + a^2 = 0$

Выносим общий множитель: $a(a - 3) = 0$

Таким образом, уравнение имеет корень $x = 3$ при двух значениях параметра $a$: $a = 0$ и $a = 3$.