Question

98 БАЛЛОВ! Пожалуйста, объясните, как решать задачи такого вида [еще приведите решение этой задачи]. Заранее спасибо! Студенты 5 раз сдавали зачет (не сумевшие сдать зачет приходили на следующий день). Каждый раз успешно сдавала зачет треть всех пришедших студентов и еще треть студента. Каково наименьшее возможное число студентов, так и не сдавших зачет? Сколько вообще могло быть студентов?

Answer 1

Предлагаю не самый рациональный и быстрый, но альтернативный способ решения.

Answer 2

Пусть студенты сдавали зачёт n раз. Разобьём студентов на несколько групп по 3ⁿ студентов в каждой и "остаток". На каждом зачёте из группы зачёт будет успешно сдавать только треть студентов, а "ещё треть студента" будет каждый раз браться из "остатка". Заметим, что теперь имеет значение только количество студентов в остатке. Если оно будет целым после каждого зачёта, то и всё количество студентов будет целым.

Методом Математической Индукции докажем, что условие будет выполнено только если в остатке было 3ⁿ - 1 студентов. База (n = 1) очевидна. Теперь выполним переход (от n к n+1). Так как нам известно, что сдать зачёт n раз студенты могли только при наличии 3ⁿ - 1 студентов в остатке, то n + 1 раз сдать зачёт они могли только в случае 3ⁿ - 1, 2 * 3ⁿ - 1 и 3^(n+1) - 1 студентов  в остатке. Первый не подходит, так как по предположению индукции сдать n зачётов не получится, если в остатке меньше 3ⁿ - 1 студента (предполагается, что один зачёт они уже сдали). Во втором случае проведём один зачёт:

(2 * 3ⁿ - 1) * 2/3 - 1/3 = 4 * 3^(n-1) - 1 ≡ 3^(n-1)-1 (mod 3ⁿ)

По предположению индукции, в остатке не требуемое количество студентов, следовательно, ещё n зачётов провести не удастся.

В третьем случае тоже проведём один зачёт:

(3^(n+1) - 1) * 2/3 - 1/3 = 2 * 3ⁿ - 1 ≡ 3ⁿ - 1 (mod 3ⁿ)

А здесь по предположению индукции провести n зачётов удастся. Переход доказан.

Следовательно, для проведения n зачётов изначально должно было быть k * 3ⁿ - 1 студентов.

Теперь посчитаем количество студентов, так и не сдавших зачёт, из k * 3ⁿ - 1 студентов. В каждой группе зачёт не сдаст 2ⁿ студентов (так как на каждом зачёте количество студентов в каждой из групп умножается на 2/3). В остатке же останется 2ⁿ - 1 студент, так как после каждого зачёта сохраняется слагаемое "-1". Итак, осталось k * 2ⁿ - 1 студентов. Подставим k = 1 и n = 5 - получим ответ исходной задачи, 31.

Ответ: 31 (первый вопрос).

Answer 3

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод проб и ошибок, итеративно проверяя различные варианты числа студентов, таких что все они не сдали зачет.

Предположим, что общее количество студентов равно N. В первый раз зачет сдала треть всех студентов и еще треть студента, что составляет N/3 + N/3 = 2N/3 студента. Значит, не сдали зачет N - 2N/3 = N/3 студента.

На следующий день не сдали зачет N/3 студента. Оставшиеся студенты после первого дня (2N/3) снова будут сдавать зачет, треть из них успешно сдадут, что составляет 2N/3 * 1/3 = 2N/9 студента. Итак, на второй день не сдали зачет N/3 - 2N/9 = N/9 студента.

Этот процесс повторяется 5 раз, и мы можем записать общее число не сдавших зачет в конце пятого дня как:

N/3 + N/9 + N/27 + N/81 + N/243.

Мы хотим найти наименьшее возможное значение N, для которого это число больше или равно 98.

N/3 + N/9 + N/27 + N/81 + N/243 >= 98.

Для упрощения выражения можно умножить обе части уравнения на 243, чтобы избавиться от знаменателей:

81N + 27N + 9N + 3N + N >= 98 * 243.

121N >= 98 * 243.

N >= (98 * 243) / 121.

N >= 196.

Значит, наименьшее возможное число студентов, так и не сдавших зачет, составляет 196.

Чтобы найти общее число студентов, мы можем учесть, что N/3 студентов сдали зачет каждый день, и прибавить это к числу студентов, которые не сдали зачет:

196 + N/3 = N.

Упрощая это уравнение, получим:

2N/3 = 196.

Умножим обе части на 3/2:

N = 294.

Таким образом, в данной задаче могло быть 294 студента.