Question

98 БАЛЛОВ! Заранее спасибо решившему задачу! Студенты 5 раз сдавали зачет (не сумевшие сдать зачет приходили на следующий день). Каждый раз успешно сдавала зачет треть всех пришедших студентов и еще треть студента. Каково наименьшее возможное число студентов, так и не сдавших зачет? Сколько вообще могло быть студентов?

Answer 1

Ответ:

Наименьшее возможное число студентов, так и не сдавших зачет - 32 человека. При этом, первоначально было 242 студента.

Пошаговое объяснение:

Из условия следует, что каждый раз на зачет приходит такое количество студентов, что если к нему добавить еще одного студента, то полученное число делится на три. Тогда:

1 зачет – пришло число студентов А

2 зачет – пришло студентов В, где В связано с А уравнением: В+1 = (2/3) (А+1)

3 зачет – пришло студентов С, где С связано с В уравнением: С+ 1= (2/3)(В+1)

4 зачет – пришло студентов D, где D связано с С уравнением: D+1  = (2/3) (С+1)

5 зачет – пришло  студентов Е, где Е связано с D уравнением: E+1 = (2/3) (D+1)

Осталось после 5 подхода студентов F, где F связано с D уравнением F+1= (2/3) (E+1)

Преобразовываем уравнения к виду:

A+1 = (3/2) (B+1) (1)

B+1 = (3/2) (C+1)  (2)

C+1 = (3/2) (D+1) (3)

D+1= (3/2) (E+1) (4)

Е+1 = (3/2) (F+1) (5)

И подставляем последовательно уравнения друг в друга, начиная с уравнения (5), получаем:

А+1 = (3/2)^5*(F+1).

Отсюда: А = (243/32)(F+1) – 1 (6)

Уравнение (6) связывает число студентов пришедших на зачет в первый раз (А) с числом студентов, оставшихся после 5 пересдачи (F). Из уравнения (6) видно, что первое целочисленное значение А будет при (F+1) = 32, т.е.

F = 31 и А = 242

В более общем случае можно видеть, что для к подходов для сдачи зачета ответ будет: А=(3/2)^к * (Aк+1) – 1 (для 5 пересдач в нашей задаче, Ак = F и к=5)

Например, для 6 пересдач получим А=(729/64)(А6+1) – 1 и, таким образом А6=63 и А=728.

Answer 2

Давайте разберем задачу пошагово:

Предположим, что на первый зачет пришло X студентов. Треть из них (X/3) успешно сдала зачет, а еще треть (X/3) пришла на следующий день. Таким образом, осталось X - X/3 - X/3 студентов, которые не сдали зачет после первой попытки.

На второй зачет пришли все оставшиеся студенты, не сдавшие на первой попытке, т.е., X - X/3 - X/3 студентов. Опять же, треть из них (X - X/3 - X/3)/3 = (X/3) успешно сдала зачет, а оставшиеся (X - X/3 - X/3) - (X/3) = (X/3) студентов не сдали зачет после второй попытки.

После третьей, четвертой и пятой попыток ситуация будет аналогичной, и каждый раз оставшееся количество несдавших студентов будет составлять X/3.

Теперь у нас есть последовательность для числа студентов, не сдавших зачет после каждой попытки: X/3, X/3, X/3, X/3, X/3.

Из условия задачи известно, что после пятой попытки осталось 98 баллов. Значит, после пятой попытки осталось X/3 = 98 студентов, которые так и не сдали зачет.

Теперь найдем общее количество студентов, которые могли принимать участие в этом процессе: X = 3 * 98 = 294 студента.

Таким образом, наименьшее возможное число студентов, которые не сдали зачет, составляет 98, а всего могло быть 294 студента.