Question

четная функция у=f(x)определена на всей числовой прямой . для всякого неположительного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции g(x)=(6x-5)(x квадрат-х)(х квадрат-1) найдите кол-во нулей функции у=f(x)

Answer 1

График чётной функции симметричен относительно оси ординат. Значит, если функция имеет n отрицательных нулей, то она имеет и n положительных нулей.

Найдём отрицательные нули функции. Это можно сделать, найдя отрицательные нули функции g(x):

$(6x-5)(x^2-x)(x^2-1)=0\\x(6x-5)(x-1)(x-1)(x+1)=0\\x=-1;~0;~\dfrac{5}{6};~1$

Среди корней этого уравнения отрицателен только один. Значит, положительный нуль тоже один.

При отборе мы не учитывали число 0, чтобы не посчитать его дважды. Является ли оно нулём функции? Да, оно встречалось среди нулей g(x), а по условию при x ≤ 0 f(x₀) = g(x₀). То есть всего мы насчитали 3 нуля: -1; 0; 1.

Ответ: 3

Answer 2

Для четной функции y = f(x), все нули функции будут симметричны относительно оси y (y-оси). Это означает, что если f(a) = 0, то f(-a) тоже будет равно 0.

Поскольку функция g(x) имеет нули при неположительных значениях x, то для функции f(x) также будут существовать нули при отрицательных значениях x.

Теперь давайте посмотрим на функцию g(x):

g(x) = (6x - 5)(x^2 - x)(x^2 - 1)

Чтобы найти нули функции g(x), мы должны приравнять g(x) к нулю и решить уравнение:

(6x - 5)(x^2 - x)(x^2 - 1) = 0

Таким образом, у нас есть три множителя, и уравнение равно 0 только в том случае, если хотя бы один из множителей равен 0:

1. 6x - 5 = 0 => x = 5/6
2. x^2 - x = 0 => x(x - 1) = 0 => x = 0 или x = 1
3. x^2 - 1 = 0 => (x - 1)(x + 1) = 0 => x = 1 или x = -1

Таким образом, у функции g(x) есть три нуля: x = 5/6, x = 0 и x = -1.

Так как функция у = f(x) совпадает со значениями функции g(x) для неположительных x, у функции у = f(x) также будет три нуля: x = 5/6, x = 0 и x = -1.