Question

Вычислить (3-∛3i)⁴ Я так понимаю через тригонометрическую форму

Answer 1

(3-∛3i)⁴ = ?

(3-∛3i)⁴ = (3-∛3i)² * (3-∛3i)² = (9 -6∛3 i +∛9i²)(9 -6∛3 i +∛9i²)=

=(9 -6∛3 i -∛9)*(9 -6∛3 i -∛9)=( (9 - ∛9) -6∛3 i)²=

=(9 - ∛9)² - 2*(9 - ∛9)*6∛3 i + 36∛81 i²=

=81 - 18∛9 + ∛81  -108∛3 i + 12∛27 i - 36∛81=

=81 - 18∛9 + 3∛3  -108∛3 i + 12*3 i - 36*3∛3 =

=81 - 18∛9 - 108∛3    -(108∛3 - 36) i

Answer 2

Да, вы правы, мы можем решить это задание, используя тригонометрическую форму комплексных чисел. Возведение в степень для комплексных чисел удобно делать в тригонометрической форме.

Для начала, найдем модуль и аргумент числа (3 - ∛3i):

Модуль: |3 - ∛3i| = √(3² + (∛3)²) = √(9 + 3) = √12 = 2√3

Аргумент: arg(3 - ∛3i) = arctan(Im/Re) = arctan((-∛3)/3) = arctan(-√3/3)

Теперь переведем это число в тригонометрическую форму: 3 - ∛3i = 2√3 * cos(arctan(-√3/3)) + i * 2√3 * sin(arctan(-√3/3))

Так как мы знаем, что cos(π/6) = √3/2 и sin(π/6) = 1/2, то:

3 - ∛3i = 2√3 * cos(-π/6) + i * 2√3 * sin(-π/6)

Теперь возведем это число в четвертую степень:

(3 - ∛3i)⁴ = (2√3)⁴ * cos(4 * (-π/6)) + i * (2√3)⁴ * sin(4 * (-π/6))

(2√3)⁴ = (22√3)⁴ = 48

cos(4 * (-π/6)) = cos(-2π/3) = cos(2π/3) = -1/2

sin(4 * (-π/6)) = sin(-2π/3) = -sin(2π/3) = -√3/2

Теперь соберем все вместе:

(3 - ∛3i)⁴ = 48 * (-1/2) + i * 48 * (-√3/2)

(3 - ∛3i)⁴ = -24 - 24i√3

Таким образом, вычисленное значение (3 - ∛3i)⁴ равно -24 - 24i√3.