Question

Знайдіть різницю арефметичної прогресіїї, якщо сума перших ста членів на 50 більша від суми ста наступних.

Answer 1

Обозначим:

$(a_n):\ a_1,a_2,...\ -$ данная арифм. прогрессия

d - разность прогрессии

$S_{(1-100)}-$ сумма первых ста членов ариф.прогрессии

$S_{(101-200)}-$ сумма следующих ста членов той же ариф.прогрессии

По условию $S_{(1-100)}-S_{(101-200)}=50\\\\S_{(1-100)}=\dfrac{2a_1+99d}{2}\cdot100=50(2a_1+99d)\\\\S_{(101-200)}=\dfrac{2a_{101}+99d}{2}\cdot100=50(2a_{101}+99d)=50(2(a_1+100d)+99d)=\\=50(2a_1+299d)\\ \\ \Rightarrow 50(2a_1+99d)-50(2a_1+299d)=50\\ 2a_1+99d-2a_1-299d=1\\ -200d=1\\ d=-0,005$

Ответ: -0,005.

Answer 2

Ответ:

-1/200

Объяснение:

Вычтем сумму членов от 101-го до 200-го из суммы первых ста членов:

$(a_{101}+a_{102}+a_{103}+\cdots+a_{200})-(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{100})=\\=(a_{101}-a_1)+(a_{102}-a_2)+(a_{103}-a_3)+\cdots+(a_{200}-a_{100})$

Заметим, что разность в каждой скобке равна 100d, где d - искомая разность: $a_{100+n}-a_n=(a_1+(n+99)d)-(a_1+(n-1)d)=100d$. Всего скобок 100, так что

$100\cdot100d=-50\\\boxed{d=-\dfrac{50}{100^2}=-\dfrac1{200}=-0.005}$

Answer 3

Нехай перший член арифметичної прогресії буде а, а різниця між членами d. Тоді сума перших ста членів прогресії може бути виражена як:

S1 = 100/2 * (2a + (100-1)d) = 50(2a + 99d)

Сума наступних ста членів прогресії буде:

S2 = 100/2 * (2(a + 100d) + (100-1)d) = 50(2a + 200d + 99d) = 50(2a + 299d)

За умовою задачі, сума перших ста членів на 50 більша від суми наступних ста членів:

S1 = S2 + 50

50(2a + 99d) = 50(2a + 299d) + 50

2a + 99d = 2a + 299d + 1

99d - 299d = 1

-200d = 1

d = -1/200

Тепер можемо знайти різницю арефметичної прогресії:

d = -1/200