Question

Найти производную х’(f) параметрически заданной функции х=квадратный корень из 1-t в квадрате , у=t/квадратный корень из 1-t в квадрате

Answer 1

$y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}\\ x'_t=[(1-t^2)^{\frac{1}{2}}]'=\frac{1}{2}(1-t^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot(-2t)=-t(1-t^2)^{-\frac{1}{2}};\\ y'_t=[t(1-t^2)^{-\frac{1}{2}}]'=(1-t^2)^{-\frac{1}{2}}+t\cdot(-\frac{1}{2}(1-t^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(-2t))=\\=(1-t^2)^{-\frac{1}{2}}+t^2(1-t^2)^{-\frac{3}{2}}=(1-t^2)^{-\frac{3}{2}}(1-t^2+t^2)=(1-t^2)^{-\frac{3}{2}};$

$\Rightarrow y'_x=\dfrac{-t(1-t^2)^{-\frac{1}{2}}}{(1-t^2)^{-\frac{3}{2}}}=-t(1-t^2)=t^3-t$

Ответ: t³ - t.

Answer 2

Чтобы найти производную х'(f) параметрически заданной функции, необходимо найти производные по отдельности для функций x и y и затем применить правило дифференцирования сложной функции.

Дано: x = √(1 - t²) y = t/√(1 - t²)

Найдем производные x' и y' по отдельности:

1. Для x: Используем цепное правило дифференцирования. Пусть u = 1 - t², тогда √u = u^(1/2). Производная u по t равна du/dt = -2t.

Теперь применим цепное правило: dx/dt = (1/2)(1/√u)(du/dt) = (1/2)(1/√(1 - t²))(-2t) dx/dt = -t/√(1 - t²)

2. Для y: Производная y по t равна dy/dt = (d/dt)(t/√(1 - t²)). Применим правило дифференцирования частного и цепное правило: dy/dt = [(d/dt)(t)](√(1 - t²)) - t(d/dt)(√(1 - t²)). dy/dt = (1)(√(1 - t²)) - t(-1/2)*(2t)/(√(1 - t²)). dy/dt = √(1 - t²) + t²/(√(1 - t²)). dy/dt = (√(1 - t²) + t²)/(√(1 - t²)). dy/dt = 1.

Теперь найдем производную х'(f) параметрически заданной функции, используя найденные производные x' и y':

х'(f) = dx/dy = (dx/dt)/(dy/dt) = (-t/√(1 - t²))/1 = -t/√(1 - t²).

Таким образом, производная х'(f) параметрически заданной функции равна -t/√(1 - t²).