Question

Вычислить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a=2i – 6j +7k и b= i + 2j – 2k

Answer 1

Вектор первой диагонали: x=a+b

Вектор второй диагонали: y=a-b

$\cos( \alpha ) = \frac{(x,y)}{ |x| \times |y| }$

x=a+b=3i-4j+5k

y=a-b=i-8j+9k

Если i,j,k ортонормированный базис, то:

(x,y)=3*1+(-4)*(-8)+5*9=3+32+45=80

$|x| = \sqrt{ {3}^{2} + {( - 4)}^{2} + {5}^{2} } = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$

$|y| = \sqrt{ {1}^{2} + {( - 8)}^{2} + {9}^{2} } = \sqrt{146}$

$\cos( \alpha) = \frac{80}{5 \sqrt{2} \times \sqrt{146} } \: \: \: = \\ > \: \: \alpha = arccos( \frac{16}{ \sqrt{292} } )$

Answer 2

Для вычисления угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a и b, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти векторы диагоналей параллелограмма.
2. Найти скалярное произведение этих векторов.
3. Вычислить угол между диагоналями с помощью косинуса угла между векторами.

Шаг 1: Найдем векторы диагоналей параллелограмма.

Для параллелограмма построенного на векторах a и b, диагонали имеют вид: d1 = a + b и d2 = a - b.

d1 = (2i - 6j + 7k) + (i + 2j - 2k) = 3i - 4j + 5k

d2 = (2i - 6j + 7k) - (i + 2j - 2k) = i - 8j + 9k

Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов диагоналей.

Скалярное произведение векторов a и b равно: a · b = |a| * |b| * cos(θ), где θ - угол между векторами a и b.

Скалярное произведение векторов d1 и d2 равно:

d1 · d2 = (3i - 4j + 5k) · (i - 8j + 9k)

d1 · d2 = 3 * 1 + (-4) * (-8) + 5 * 9 = 3 + 32 + 45 = 80

Шаг 3: Вычислим угол между диагоналями с помощью косинуса угла между векторами.

cos(θ) = (d1 · d2) / (|d1| * |d2|)

|d1| = √(3^2 + (-4)^2 + 5^2) = √(9 + 16 + 25) = √50

|d2| = √(1^2 + (-8)^2 + 9^2) = √(1 + 64 + 81) = √146

cos(θ) = 80 / (√50 * √146) ≈ 0.8289

Теперь, чтобы найти угол θ, возьмем обратный косинус:

θ ≈ cos^(-1)(0.8289) ≈ 34.18 градусов (округленно до двух знаков после запятой).

Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма составляет около 34.18 градусов.