Question

32. Для функции f(x) = x найдите первообразную функцию, график которой касается прямой у = х — 1.​

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

F(x)=x^2/2+C-общий вид первообразной

уравнение касательной к  ей в точке х0

g(x)=F(x0)+f(x0)(x-x0)=x-1

значит f(x0)=1;

F(x0)-f(x0)-x0=-1

x0^2/2+C-1-x0=-1

x0^2-2x0+2C+2=0

D=4-4(2C+2)=4-8C-8=-8C-4=-4(2C+1)=0-так как корень (точка касания) должен быть один, то D=0

2C+1=0; C=-0.5

значит уравнение первообразной

F(x)=x^2/2-0.5

Answer 3

Чтобы найти первообразную функцию для функции f(x) = x, которая касается прямой у = x - 1, мы ищем функцию F(x), которая удовлетворяет двум условиям:

1. F'(x) = f(x) = x (первообразная функция должна быть производной данной функции f(x)).
2. F(x) касается прямой у = x - 1, что означает, что у функции F(x) и прямой должен быть общий касательный.

Касательная прямая имеет угловой коэффициент, равный коэффициенту перед x в уравнении функции f(x). Таким образом, касательная прямая к функции F(x) должна иметь угловой коэффициент, равный 1.

Поэтому, ищем функцию F(x) в виде F(x) = ax + b, где a и b - постоянные, которые нужно найти.

1. Найдем производную функции F(x): F'(x) = a.

2. Подставим F'(x) в первое условие: F'(x) = a = f(x) = x.

Теперь мы знаем, что a = 1.

3. Подставим найденное значение a в уравнение функции F(x): F(x) = x + b.

4. Теперь найдем значение b, чтобы функция F(x) касалась прямой у = x - 1. Это означает, что у них должна быть общая точка и общий угловой коэффициент.

У прямой у = x - 1 угловой коэффициент равен 1, и она проходит через точку (0, -1).

Теперь приравняем уравнения прямой и функции F(x): x - 1 = x + b.

5. Найдем значение b: b = -1.

Таким образом, первообразная функция, график которой касается прямой у = x - 1, будет F(x) = x - 1.