Question

Может ли произведение трех последовательных натуральных чисел быть степенью натурального числа (квадратом, кубом и т.д.)? Подробное решение, пожалуйста​

Answer 1

Возьмём для простоты вычислений числа n-1, n, n+1. Пусть произведение этих чисел — это k-тая степень какого-то числа: $(n-1)n(n+1)=2^k*3^k*5^k*...$. Зная, что два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые, получаем, что число n взаимно простое с числами n-1, n+1, то есть n не имеет общих множителей в разложении с числами n-1 и n+1. Значит, каждый множитель n находится в k-той степени — само число n — это k-тая степень. Но тогда и (n-1)(n+1) = n²-1 является k-той степенью. Если возвести число n в квадрат, оно всё равно останется числом в степени k: $n^2=(2^k)^2*(3^k)^2*(5^k)^2*...=(2^2)^k*(3^2)^k*(5^2)^k*...$. Но тогда n²-1 и n² — это два последовательных числа, являющиеся k-той степенью. Если взглянуть на графики степенных функций, становится ясно, что такого быть не может. Значит, и произведение трех последовательных натуральных чисел не является степенью натурального числа.

Answer 2

Заметим , что среди трех последовательных чисел всегда есть число кратное 3. А так же одно или два числа кратных 2. (Из соображения того, что есть всего 3 остатка от деления на 3 : 0;1;2, а при делении на 2 : 0;1).

Вытяним все степени двойки из произведения трех последовательных чисел , тогда получим:

n*(n+1)*(n+2)=2^r *(a1^f1*a2^f2*a3^f3...*an1^fn) *(b1^g1* b2^g2*b3^g3*..bn2^gn)*(c1^h1* c2^h2 *c3*h3..cn3^hn)

an1, bn2, cn3 - простые множители большие двух ,каждого из трех последовательных натуральных чисел.( простые числа)

Покажем ,что три последовательных числа не имеют общих простых делителей больше 2. Предположим , что n делится на p : n=k*p , тогда n+2=k*p+2, тк p>2 , то 2 не делится на p , а значит n+2 не делится на p. Аналогично n+1 не делится на p : n+1=k*p+1 тк 1 не делится на p. Так же доказывается для случая делимости на простое чисел n+1 и n+2.

А значит невозможны равенства:

ak1=bk2 , ak1=ck2 , bk1=ck1.

То есть в трех сомножителях нет одинаковых простых множителей .

Предположим что: n*(n+1)*(n+2) является cтепенью q натурального числа N.

N=p1^i1 *p2^i2 *p3^i3...*pm^Im

pm-простые числа.

N^q=p1^qi1 *p2^qi2 *p3^qi3...*pm^qIm.

Поскольку до этого было доказано , что невозможны равенства:

ak1=bk2 , ak1=ck2 , bk1=ck1.

То справедливо, что:

n*(n+1)*(n+2)=2^qr *(a1^qf1*a2^qf2*a3^qf3...*an1^qfn) *(b1^qg1* b2^qg2*b3^qg3*..bn2^qgn)*(c1^qh1* c2^qh2 *c3^qh3..cn3^qhn)

Откуда очевидно , что для соседних четного и нечетного числа верно что: n=x^q , n+1=y^q.

То есть верно что:

x^q-y^q=1 , что не является возможным для натуральных чисел x,y,q.

Поскольку x^q-y^q делится на x-y по формуле разности степеней. x-y=1

Но тогда x^n-y^n>1 , то есть мы пришли к противоречию.

Вывод: произведение трех последовательных чисел не является степенью целого числа.

Answer 3

Давайте рассмотрим произведение трех последовательных натуральных чисел:

Пусть эти числа будут n, n+1 и n+2 (поскольку мы ищем последовательные натуральные числа). Тогда произведение этих чисел можно записать как:

n * (n + 1) * (n + 2)

Раскроем скобки:

n * (n + 1) * (n + 2) = n * (n^2 + 3n + 2)

Теперь у нас есть выражение для произведения трех последовательных натуральных чисел. Для того чтобы произведение было степенью натурального числа, необходимо и достаточно, чтобы это выражение было равно k^m, где k - натуральное число, а m - натуральное число, большее 1 (квадрат, куб и т.д.).

Попробуем найти такие значения n, при которых выражение будет иметь вид k^m:

n * (n^2 + 3n + 2) = k^m

Для упрощения дальнейшего анализа, допустим, что k^m имеет простую форму, т.е. k^m = n^p, где p - натуральное число, большее 1.

Теперь заменим k^m на n^p в уравнении:

n * (n^2 + 3n + 2) = n^p

Разделим обе части уравнения на n (предполагая, что n ≠ 0):

n^2 + 3n + 2 = n^(p-1)

Теперь давайте рассмотрим случаи, когда p равно 2, 3, 4 и так далее, чтобы проверить, возможны ли такие n, при которых это уравнение выполняется.

1. Когда p = 2: n^2 + 3n + 2 = n^(2-1) = n n^2 + 3n + 2 - n = 0 n^2 + 2n + 2 = 0

   Дискриминант этого квадратного уравнения D = b^2 - 4ac = 2^2 - 412 = 4 - 8 = -4. Так как D отрицательный, нет рациональных корней, значит, нет натуральных чисел n, для которых произведение трех последовательных натуральных чисел было бы квадратом натурального числа.

2. Когда p = 3: n^2 + 3n + 2 = n^(3-1) = n^2 n^2 + 3n + 2 - n^2 = 0 3n + 2 = 0

   Здесь также нет натуральных чисел n, удовлетворяющих уравнению.

Мы можем продолжать проверку для более высоких значений p, но уже сейчас видим, что уравнение n^2 + 3n + 2 = n^(p-1) не имеет решений для натуральных чисел n при любых p > 1.

Таким образом, произведение трех последовательных натуральных чисел не может быть степенью натурального числа (квадратом, кубом и т.д.).