Question

Найти площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды если ее объем равен 18, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45 градусов.

Answer 1

Ответ:

В основании пирамиды – квадрат.

Пусть сторона квадрата равна а,

тогда диагонали квадрата по теореме Пифагора

АС=BD=a·√2

Диагонали в точке пересечения делятся пополам.

ВО=OD=(a·√2)/2

Δ MBO – прямоугольный равнобедренный.

BO=MO=(a·√2)/2

S(диагонального сечения)= S( Δ MBD)=(1/2)BD·MO=

=(1/2)·a·√2 · (a·√2)/2=a2/2

36=a2/2

a=6√2

MO=H=(a·√2)/2=(6·√2·√2)/2=6

V=(1/3)·S( осн.) · Н=(1/3)· a2·MO=

=(1/3)·72·6=144

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые формулы и свойства четырехугольных пирамид.

Обозначим через V объем пирамиды, через S — площадь ее диагонального сечения, а через a — длину ребра пирамиды.

Первым шагом найдем длину высоты h пирамиды. Объем пирамиды можно выразить через формулу:

V = (1/3) * S_base * h,

где S_base — площадь основания пирамиды.

Мы знаем, что объем пирамиды равен 18, а правильная четырехугольная пирамида имеет площадь основания, равную:

S_base = (a^2 * sqrt(3)) / 4.

Подставляя эти значения в формулу для объема пирамиды, получаем:

18 = (1/3) * ((a^2 * sqrt(3)) / 4) * h.

Упростим это уравнение, умножив обе части на 3/((a^2 * sqrt(3)) / 4):

54 = h * (a^2 * sqrt(3)) / 4.

Теперь найдем косинус угла между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания. По определению косинуса, имеем:

cos(45°) = adjacent / hypotenuse,

где adjacent — это длина бокового ребра, а hypotenuse — длина диагонали основания. Так как боковое ребро составляет угол 45 градусов с плоскостью основания, то adjacent равно a, а hypotenuse равно диагонали основания d.

Известно, что cos(45°) = sqrt(2) / 2, поэтому получаем:

sqrt(2) / 2 = a / d.

Разрешим это уравнение относительно d:

d = a / (sqrt(2) / 2).

d = a * (2 / sqrt(2)).

d = a * sqrt(2).

Теперь мы можем найти площадь диагонального сечения пирамиды, используя формулу:

S = (d^2 * sqrt(3)) / 4.

Подставляем найденное значение d и получаем:

S = (a^2 * 2 * sqrt(2)^2 * sqrt(3)) / 4.

S = (a^2 * 2 * 2 * sqrt(3)) / 4.

S = a^2 * sqrt(3).

Таким образом, площадь диагонального сечения пирамиды равна a^2 * sqrt(3).