Question

Пожалуйста, найдите производную функций: y = sin (5x + 3) и y = ln(7sinx + 5x). Если можно, напишите подробное решение с пояснением. Спасибо заранее.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$1.y' = (sin(5x+3))' = cos(5x+3)*(5x+3)' = 5cos(5x+3)\\\\2.y'=(ln(7sinx+5x))'=\dfrac{(7sinx+5x)'}{7sinx+5x} =\dfrac{7cosx+5}{7sinx+5x}$

Answer 2

Обе функции - сложные, то есть есть в одной функции содержится несколько других функций, например, y = sin (5x+3). В этой функции есть две внутренние функции - sinx и 5x+3.

Для того, чтобы найти производную сложной функции необходимо "разбить" сложную функцию на внутренние функции и найти их производную.

I функция. y = sin(5x+3)

Видим две функции в одной сложной: sint и 5x+3, где t = 5x+3

Таким образом, ищем производные этих функций и перемножаем их друг с другом.

f`(t) = (sint)` = cost = cos(5x+3)

f`(x) = (5x+3)` = 5

y` = (sin(5x+3))` = 5cost = 5cos(5x+3).

II функция

Видим две функции в одной сложной: lnt и 7sinx + 5x, где t = 7sinx + 5

f`(t) = (lnt)` = 1/t = 1 / (7sinx+5x)

f`(x) = (7sinx+5x) = 7cosx + 5

y` = (ln(7sinx+5x))` = 7cosx+5/7sinx +5x

Вот так, вроде ничего сложного. Будут вопросы - пиши :)

Answer 3

Для нахождения производных данных функций, мы будем использовать правила дифференцирования элементарных функций. Вот подробные шаги для каждой из функций:

1. Найдем производную функции y = sin(5x + 3):

Для нахождения производной синуса функции, мы применим правило дифференцирования композиции функций (chain rule). Если у нас есть функция g(x) = sin(x), а внутри нее есть другая функция f(x), то производная этой композиции равна произведению производной внешней функции g'(x) и производной внутренней функции f'(x).

В данном случае, f(x) = 5x + 3, а g(x) = sin(x). Таким образом, f'(x) = 5 (производная линейной функции), а g'(x) = cos(x) (производная синуса).

Теперь применим chain rule:

y = sin(5x + 3) y' = (cos(5x + 3)) * (5) y' = 5cos(5x + 3)

Таким образом, производная функции y = sin(5x + 3) равна y' = 5cos(5x + 3).

2. Теперь найдем производную функции y = ln(7sin(x) + 5x):

Для нахождения производной натурального логарифма функции, мы применим правило дифференцирования сложной функции (chain rule) вместе с правилом дифференцирования суммы функций.

По аналогии с предыдущим решением, обозначим внутреннюю функцию f(x) = 7sin(x) + 5x, а внешнюю g(x) = ln(x).

Тогда производная внешней функции g'(x) = 1/x (производная ln(x)), а производная внутренней функции f'(x) = 7cos(x) + 5 (производная суммы 7sin(x) и 5x, которая состоит из производной 7sin(x) и производной 5x).

Теперь применим chain rule:

y = ln(7sin(x) + 5x) y' = (1 / (7sin(x) + 5x)) * (7cos(x) + 5)

Таким образом, производная функции y = ln(7sin(x) + 5x) равна y' = (7cos(x) + 5) / (7sin(x) + 5x).

Надеюсь, это решение помогло! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать.