Question

Пусть p > 2 - простое число . Докажите , что число 7^p - 5^p - 2 делится на 6 p

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:  Решение :

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся индукцией по p.

1. Базовый шаг (p = 3): Для p = 3, утверждение имеет вид: 7^3 - 5^3 - 2 делится на 63. Вычислим левую часть: 7^3 - 5^3 - 2 = 343 - 125 - 2 = 216. Теперь проверим деление 216 на 63 = 18. 216 делится на 18 без остатка (216 ÷ 18 = 12). Таким образом, утверждение верно для p = 3.

2. Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого простого числа k: 7^k - 5^k - 2 делится на 6k.

3. Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно для p = k + 1: Выразим 7^(k+1) и 5^(k+1) через предположение индукции: 7^(k+1) = 7^k * 7, 5^(k+1) = 5^k * 5.

   Теперь перепишем выражение 7^p - 5^p - 2 для p = k + 1: 7^(k+1) - 5^(k+1) - 2 = (7^k * 7) - (5^k * 5) - 2 = 7^k * 7 - 5^k * 5 - 2.

   Воспользуемся предположением индукции: 7^k - 5^k - 2 делится на 6k. Это значит, что существует целое число m, такое что: 7^k - 5^k - 2 = 6km.

   Теперь подставим это выражение в наше уравнение: 7^(k+1) - 5^(k+1) - 2 = 7^k * 7 - 5^k * 5 - 2 = (6km + 5)*7 - 5^k * 5 - 2 = 42km + 35 - 5^k * 5 - 2 = 42km + 33 - 5^k * 5.

   Так как 5^k делится на 5, то можно переписать выражение как: 42km + 33 - 5^k * 5 = 42km + 33 - 5k*5 = 42km + 33 - 25k.

   Теперь вынесем общий множитель: 42km + 33 - 25k = 3(14km + 11) - 25k.

   Очевидно, что 3(14km + 11) делится на 3, а -25k делится на 6k (по предположению индукции).

   Таким образом, получаем, что 7^(k+1) - 5^(k+1) - 2 делится на 3 * 6k = 6(k+1).

   Мы показали, что если утверждение верно для некоторого простого числа k, то оно верно и для p = k + 1.

По принципу математической индукции, утверждение верно для всех простых чисел p > 2.