Question

На собрании присутствует 20 человек. Им нужно избрать председателя собрания, 2 заместителей председателя и 2 секретарей. Сколькими способами можно это сделать? Помогите с решением

Answer 1

Ответ:  19 380 способов.

Решение:

Сначала выберем одного человека из 20; очевидно, что сделать это есть 20 способов. Второго человека - 20 - 1 = 19 способов. По аналогии, для третьего и четвертого человека имеем 18 и 17 способов соответственно. Но нужно учитывать, что произведение 20*19*18*17 - это не окончательный ответ, так как порядок выбора отдельно заместителей и отдельно председателей нам не важен, но важно, кто из выбранный людей заместитель, а кто - председатель. Посчитаем, сколько есть способов из четырех человек (4 = 2 + 2) выбрать двух секретарей: 4*3:2 = 12:2 = 6. Поэтому всего способов выбрать 2 заместителей и 2 председателей из 20 человек можно:

(20*19*18*17):6 = 20*19*17*3 = 19 380 (способов).

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится применение комбинаторики.

1. Выбор председателя: Поскольку каждый человек может стать председателем, мы имеем 20 возможных вариантов выбора.

2. Выбор 2 заместителей председателя: Поскольку порядок выбора не имеет значения, мы можем использовать сочетания без повторений. У нас есть 20 человек, и мы выбираем 2 из них. Формула для сочетаний без повторений: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!). В данном случае n = 20 и k = 2, поэтому C(20, 2) = 20! / (2! * (20 - 2)!) = 20! / (2! * 18!) = (20 * 19) / (2 * 1) = 190.

3. Выбор 2 секретарей: Аналогично выбору заместителей председателя, мы можем использовать сочетания без повторений. Теперь у нас осталось 18 человек (поскольку председатель и два заместителя председателя уже выбраны), и мы выбираем 2 из них. C(18, 2) = 18! / (2! * (18 - 2)!) = (18 * 17) / (2 * 1) = 153.

Итак, мы можем выбрать председателя, 2 заместителя председателя и 2 секретарей собрания по следующему количеству способов: 20 * 190 * 153 = 5,826,000 способов.