Question

В параллелограмме ABCD точки P и Q расположены на сторонах BC и AD так, что BP = BQ. Докажите, что четырехугольник APCQ – параллелограмм.

Answer 1

ABCD - параллелограмм, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, т.е. $AO=OC,~BO=OD$. По условию, BP = BQ, т.е., точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка, значит BO - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника $PBQ$, тогда $QO=OP$. А так как в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник $APCQ$ — параллелограмм.

Answer 2

Для доказательства того, что четырёхугольник APCQ является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны. Для этого используем свойства параллелограмма и данное условие.

Условие: В параллелограмме ABCD точки P и Q расположены на сторонах BC и AD так, что BP = BQ.

Доказательство:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому, чтобы доказать, что APCQ - параллелограмм, нужно показать, что стороны AP и CQ равны и параллельны.

2. Рассмотрим треугольник ABP. Так как BP = BQ, а сторона параллелограмма AD || BC, то углы BAP и BAQ равны, так как это соответствующие углы при параллельных прямых.

3. Также углы ABP и BCQ равны, так как они являются вертикальными углами (углы, образованные пересечением двух прямых линий).

4. Получаем, что углы BAQ и BCQ равны. Теперь рассмотрим треугольник AQC. По свойству треугольника, сумма углов треугольника равна 180 градусов, и угол BCQ и угол C равны, так как это соответствующие углы.

5. Таким образом, угол AQC равен сумме углов BAQ и BCQ. Но мы уже установили, что углы BAQ и BCQ равны. Значит, угол AQC равен углу BAQ.

6. Из пунктов 2 и 5 следует, что углы BAQ и AQC равны, и значит, прямые AP и CQ параллельны, так как они имеют соответствующие углы, сравнимые друг с другом.

7. Также, по условию, AD || BC, а значит, прямые AP и CQ также параллельны, так как они обе пересекаются с прямой BC.

8. Получаем, что прямые AP и CQ параллельны. Также, из пункта 2 следует, что BP || AQ.

9. Теперь используем свойство параллелограмма: в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.

10. У нас есть BP || AQ и BP = AQ из условия. Значит, по свойству параллелограмма, PQ || AB и PQ = AB.

11. Таким образом, мы получили, что стороны AP и CQ параллельны и равны, что доказывает, что четырёхугольник APCQ - параллелограмм.

Таким образом, четырёхугольник APCQ действительно является параллелограммом.