Question

СРОЧНО! ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ С ГЕОМЕТРИЕЙ С ПОДРОБНЫМ ОБЪЯСНЕНИЕМ Первая задача Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1, вершинам которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, - параллелограммВторая задачаНа диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB=QD. Докажите, что четырёх угольник APCQ - параллелограмм

Answer 1

Ответ:

$...((()))))vot \: eto \: vse \: gotovo)))))$

Answer 2

Первая задача: Для доказательства, что четырехугольник A1B1C1D1 является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны.

В данной задаче диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Мы знаем, что диагонали параллелограмма делятся пополам, то есть от точки пересечения O, каждая диагональ делится на две равные части: OA = OC и OB = OD.

Четырехугольник A1B1C1D1 имеет вершины в серединах отрезков OA, OB, OC и OD. Обозначим середины отрезков как M (середина OA), N (середина OB), P (середина OC) и Q (середина OD).

Теперь нам нужно показать, что A1B1 || C1D1 и A1D1 || B1C1.

Докажем, что A1B1 || C1D1: Мы знаем, что OA = OC и OB = OD. Также, середина отрезка AB (точка M) соединена с серединой диагонали BD (точка Q). Это означает, что AM = MQ и BM = MQ (по теореме о середине). Построим векторы AM и AB:

AM = MQ AB = BM

Теперь рассмотрим вектор A1C1:

A1C1 = AC/2 = (OA + OC)/2 = (AM + MQ)/2 = AM/2 + MQ/2 = MQ/2 + MQ/2 = MQ

Таким образом, вектор A1C1 равен вектору MQ, а это означает, что A1B1 || C1D1.

Аналогично, можно доказать, что A1D1 || B1C1, используя середины отрезков.

Таким образом, четырехугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, является параллелограммом.

Вторая задача: Дано, что на диагонали BD параллелограмма ABCD есть две точки P и Q, такие что PB = QD. Нужно доказать, что четырехугольник APCQ является параллелограммом.

Для начала, заметим, что если точки P и Q лежат на диагонали BD, то BP = DQ. Но мы также знаем, что в параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому BP = PD и DQ = QB.

Рассмотрим вектор AP:

AP = AB + BP (по теореме о векторах в параллелограмме)

Теперь рассмотрим вектор CQ:

CQ = CD + DQ (по теореме о векторах в параллелограмме)

Подставим значения векторов BP = PD и DQ = QB в эти формулы:

AP = AB + BP = AB + PD

CQ = CD + DQ = CD + QB

Теперь, заметим, что AB = CD и PD = QB, так как диагонали параллелограмма делятся пополам. Тогда:

AP = AB + PD = CD + QB

Таким образом, вектор AP равен вектору CQ, а это значит, что соответствующие стороны параллелограмма APCQ параллельны.

Аналогичными рассуждениями, можно доказать, что соответствующие стороны AC и PQ параллельны.

Таким образом, четырехугольник APCQ является параллелограммом.