Question

Доказать что по крайней мере одна сторона пифагорного треугольника делиться на 5

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть ни одно из чисел не делится на 5. Тогда каждый квадрат сравним с  ±1 (mod 5).  Но равенство  ±1 ±1 ≡ ±1 (mod 5)  невозможно.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте воспользуемся методом от противного. Предположим, что в пифагоровом треугольнике нет стороны, которая делится на 5.

Пифагоров треугольник - это треугольник, у которого длины сторон образуют соотношение a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты, а c - гипотенуза.

Допустим, что у нас есть пифагоров треугольник с катетами a и b и гипотенузой c, и ни одна из его сторон не делится на 5. Тогда каждая сторона будет иметь следующий вид:

a = 5 * p + q, где p - некоторое целое число, а q - одно из оставшихся четырех остатков при делении на 5 (1, 2, 3 или 4).

b = 5 * r + s, где r - некоторое целое число, а s - один из оставшихся четырех остатков при делении на 5 (отличный от q).

c = 5 * t + u, где t - некоторое целое число, а u - остаток при делении на 5 (отличный от q и s).

Теперь применим теорему Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2

(5 * p + q)^2 + (5 * r + s)^2 = (5 * t + u)^2

Раскроем скобки и упростим выражение:

25 * p^2 + 10 * p * q + q^2 + 25 * r^2 + 10 * r * s + s^2 = 25 * t^2 + 10 * t * u + u^2

Заметим, что левая часть равенства содержит два слагаемых, которые делятся на 25 (первое и пятое), а правая часть содержит только одно такое слагаемое.

Давайте рассмотрим возможные варианты остатков q, s и u при делении на 5:

1. q, s, u ≠ 0: В этом случае обе стороны равенства содержат слагаемые, делящиеся на 25, что невозможно.
2. q ≠ 0, s = 0, u ≠ 0: В этом случае левая часть содержит слагаемое, делящееся на 25 (10 * p * q), но правая часть не содержит таких слагаемых, что также невозможно.
3. q ≠ 0, s ≠ 0, u = 0: В этом случае левая часть содержит слагаемые, делящиеся на 25 (10 * p * q и 10 * r * s), но правая часть не содержит таких слагаемых, что также невозможно.
4. q = 0, s ≠ 0, u ≠ 0: В этом случае левая часть содержит слагаемое, делящееся на 25 (10 * r * s), но правая часть не содержит таких слагаемых, что также невозможно.

Таким образом, невозможно, чтобы все стороны пифагорова треугольника имели остатки, отличные от нуля при делении на 5. Следовательно, по крайней мере одна сторона пифагорова треугольника должна делиться на 5.