Question

Среди коконов некоторой партии 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно выбранных из партии 3 цветных? Не более 3 цветных?

Answer 1

Схема Бернулли. Вероятность успеха в одном испытании p = 0.3, тогда q = 1 - p = 0.7.

Вероятность того, что среди 10 случайно выбранных из партии будет 3 цветных, равна $P=C^3_{10}p^3q^7=\dfrac{10!}{3!7!}\cdot 0.3^3\cdot 0.7^7\approx 0.267$

Вероятность того, что среди 10 случайно выбранных из партии будет не более 3 цветных равна

$P=q^{10}+C^1_{10}pq^9+C^2_{10}p^2q^8+C^3_{10}p^3q^7\approx0.65$

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть два возможных исхода: кокон является цветным или нет.

Обозначим:

• p - вероятность того, что кокон цветной (p = 0.3, так как 30% коконов цветные).
• q - вероятность того, что кокон не цветной (q = 1 - p = 0.7).

1. Вероятность того, что среди 10 случайно выбранных из партии будет ровно 3 цветных кокона:

Для нахождения этой вероятности, мы используем формулу биномиального распределения:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)

Где:

• n = 10 (общее количество выбранных коконов)
• k = 3 (количество цветных коконов, которое нам интересно)
• C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) - количество сочетаний из n по k (число возможных способов выбрать k элементов из n)

P(X = 3) = C(10, 3) * 0.3^3 * 0.7^7

Вычислим:

C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120 P(X = 3) = 120 * 0.3^3 * 0.7^7 ≈ 0.2668 (или округленно 26.68%)

Таким образом, вероятность того, что среди 10 случайно выбранных коконов будет 3 цветных, составляет около 26.68%.

2. Вероятность того, что среди 10 случайно выбранных из партии будет не более 3 цветных коконов:

Чтобы найти вероятность, что будет не более 3 цветных коконов, нужно сложить вероятности для 0, 1, 2 и 3 цветных коконов:

P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

Посчитаем:

P(X = 0) = C(10, 0) * 0.3^0 * 0.7^10 = 1 * 1 * 0.7^10 ≈ 0.0282 (или округленно 2.82%) P(X = 1) = C(10, 1) * 0.3^1 * 0.7^9 = 10 * 0.3 * 0.7^9 ≈ 0.1211 (или округленно 12.11%) P(X = 2) = C(10, 2) * 0.3^2 * 0.7^8 ≈ 0.2335 (или округленно 23.35%)

P(X ≤ 3) ≈ 0.0282 + 0.1211 + 0.2335 + 0.2668 ≈ 0.6496 (или округленно 64.96%)

Таким образом, вероятность того, что среди 10 случайно выбранных коконов будет не более 3 цветных, составляет около 64.96%.