Question

Стрелок 4 раза стреляет по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 1/3. Найти вероятность того, что будет хотя бы 3 попадания.

Answer 1

Всего воспроизведено n = 4 испытаний. Вероятность успеха в одном испытании равна  p = 1/3, соответственно q = 1 - p = 2/3.

Вероятность того, что стрелок попадет по мишени три раза, равна $p_1=C^3_4\cdot p^3\cdot q=4\cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{81}$

Вероятность того, что стрелок попадет по мишени четыре раза, равна $p_2=p^4=\left(\dfrac{1}{3}\right)^4=\dfrac{1}{81}$

Вероятность того, что стрелок попадет по мишени хотя бы три раза, равна

$P=p_1+p_2=\dfrac{8}{81}+\dfrac{1}{81}=\dfrac{9}{81}=\dfrac{1}{9}$

Ответ: 1/9.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение.

Вероятность попадания при каждом выстреле равна 1/3, а вероятность промаха равна 2/3.

Найдем вероятность того, что будет хотя бы 3 попадания. Это означает, что стрелок может попасть ровно 3 раза, 4 раза или все 4 раза.

Вероятность попадания ровно k раз в n независимых испытаниях задается формулой:

P(k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где C(n, k) - число сочетаний из n по k (т.е. количество возможных комбинаций выбрать k элементов из n), p - вероятность попадания, k - число попаданий, n - число выстрелов.

Используя эту формулу, мы можем найти вероятности для каждого случая:

P(3) = C(4, 3) * (1/3)^3 * (2/3)^(4-3) = 4 * (1/27) * (2/3) = 8/81

P(4) = C(4, 4) * (1/3)^4 * (2/3)^(4-4) = 1 * (1/81) * 1 = 1/81

Теперь сложим эти вероятности, чтобы найти вероятность хотя бы 3 попаданий:

P(3 or 4) = P(3) + P(4) = 8/81 + 1/81 = 9/81 = 1/9

Таким образом, вероятность того, что будет хотя бы 3 попадания, равна 1/9.