Question

ЛЮДИ ПОЖАЛУЙСТА ОЧЕНЬ НАДО МОЛЮ 100 БАЛЛОВ!!!!!!! Вершины пирамиды находятся в точках A(1,3,1), B(-1,4,6), C(-2,-3,4), D(3,4,-4). Вычислить: a)площадь грани ACD; б)объем пирамиды ABCD

Answer 1

Ответ:

S=$\frac{9\sqrt{11} }{2}$; V=3

Пошаговое объяснение:

Даны координаты пирамиды: A1(1,3,1), B(-1,4,6), C(-2,-3,4), D(3,4,-4)

Объем пирамиды, построенной на векторах AB(X1;Y1;Z1), AC(X2;Y2;Z2), AD(X3;Y3;Z3) равен:

$V=\frac{1}{6} *\left[\begin{array}{ccc}X1&Y1&Z1\\X2&Y2&Z2\\X3&Y3&Z3\end{array}\right]$

здесь X,Y,Z координаты вектора.

Найдем вектора:

AB(-2;1;5)

AC(-3;-6;3)

AD(2;1;-5)

$V=\frac{1}{6} *\left[\begin{array}{ccc}-2&1&5\\-3&-6&3\\2&1&-5\end{array}\right]$  = $\frac{|-18|}{6}$ = 3

Где (-18) нашли как определитель матрицы.

∆ = -2*((-6)*(-5) - 1*3) - -3*(1*(-5) - 1*5) + 2*(1*3 - (-6)*5) = -18

Площадь грани ACD находим как половину модуля векторного произведения векторов AC и AD

AC(-3;-6;3)

AD(2;1;-5)

S=$\frac{1}{2}|AC*AD|$

векторное произведение

AC*AD = = i ((-6)·(-5) - 3·1) - j ((-3)·(-5) - 3·2) + k ((-3)·1 - (-6)·2) = i (30 - 3) - j (15 - 6) + k (-3 + 12) = {27; -9; 9}

Модуль вектора

|AC*AD| = $\sqrt{729 + 81 + 81}$ = √891 = 9√11

S= $\frac{1}{2}*|AC*AD| = \frac{9\sqrt{11} }{2}$

Answer 2

Для вычисления площади грани ACD и объема пирамиды ABCD вам понадобятся определенные формулы и методы. В данном случае, мы можем использовать векторное и скалярное произведение для вычисления данных значений.

Для начала, давайте найдем векторы AB, AC и AD:

AB = B - A = (-1, 4, 6) - (1, 3, 1) = (-2, 1, 5) AC = C - A = (-2, -3, 4) - (1, 3, 1) = (-3, -6, 3) AD = D - A = (3, 4, -4) - (1, 3, 1) = (2, 1, -5)

a) Площадь грани ACD: Для вычисления площади грани ACD мы можем использовать формулу площади треугольника, которая определяется половиной модуля векторного произведения двух его сторон. В данном случае, векторы AC и AD являются сторонами треугольника, поэтому мы можем использовать их для расчета.

Площадь грани ACD = 1/2 * |AC x AD| где |AC x AD| - модуль векторного произведения AC и AD.

Вычислим векторное произведение AC и AD:

AC x AD = (-3, -6, 3) x (2, 1, -5) = (-6, 3, -6) - (-18, 9, -6) = (12, -6, 0)

Теперь найдем модуль этого векторного произведения:

|AC x AD| = sqrt(12^2 + (-6)^2 + 0^2) = sqrt(144 + 36) = sqrt(180) = 6 * sqrt(5)

Тогда площадь грани ACD = 1/2 * 6 * sqrt(5) = 3 * sqrt(5)

b) Объем пирамиды ABCD: Для вычисления объема пирамиды ABCD мы можем использовать формулу, которая определяется одной третью модуля скалярного произведения векторов AB, AC и AD. В данном случае, мы можем использовать векторы AB, AC и AD для расчета.

Объем пирамиды ABCD = 1/6 * |AB · (AC x AD)| где |AB · (AC x AD)| - модуль скалярного произведения AB и векторного произведения AC и AD.

Вычислим скалярное произведение AB и векторного произведения AC и AD:

AB · (AC x AD) = (-2, 1, 5) · (12, -6, 0) = -24 + (-6) + 0 = -30

Теперь найдем модуль этого скалярного произведения:

|AB · (AC x AD)| = |-30| = 30

Тогда объем пирамиды ABCD = 1/6 * 30 = 5

Итак, площадь грани ACD равна 3 * sqrt(5), а объем пирамиды ABCD равен 5.