Question

Докажите что для произвольных чисел а и b выполняется неравенство (а^2+b)(1/a+1/b^2)≥4√(a/b) На сколько я понимаю, то тут за неравенством Коши

Answer 1

Раз говорите для произвольных a и b, то приведу контр-пример.

Если a = b = -1, то 0 ≥ 4 - неверно. Поэтому ваше утверждение неверно.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, действительно, можно воспользоваться неравенством Коши-Буняковского (неравенство Коши-Шварца).

Неравенство Коши-Буняковского: Для произвольных чисел x_i и y_i, где i = 1, 2, ..., n, выполняется следующее неравенство:

(x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_ny_n)² ≤ (x₁² + x₂² + ... + x_n²)(y₁² + y₂² + ... + y_n²)

Теперь применим это неравенство к выражению, которое нужно доказать:

(а² + b)(1/a + 1/b²) ≥ 4√(a/b)

Раскроем скобки:

а²(1/a) + а²(1/b²) + b(1/a) + b(1/b²) ≥ 4√(a/b)

Сократим:

а + а/b + 1 + 1/b² ≥ 4√(a/b)

Теперь приведем в левой части общий знаменатель:

(a³ + a² + b² + b) / b² ≥ 4√(a/b)

Теперь умножим обе стороны неравенства на b²:

a³ + a² + b² + b ≥ 4b√(a/b)

Далее, разделим обе стороны неравенства на b:

a² + a + b + 1 ≥ 4√(a/b)

Теперь воспользуемся неравенством Коши-Буняковского, где x₁ = a, x₂ = 1, y₁ = √a, y₂ = √(1/b):

(a² + 1)(1 + b) ≥ (√a + √(1/b))²

(a² + 1)(1 + b) ≥ (√(a) + √(1/b))²

Теперь применим квадратный корень к обеим сторонам:

√((a² + 1)(1 + b)) ≥ √((√a + √(1/b))²)

Теперь упростим:

√((a² + 1)(1 + b)) ≥ √(a + 1/b + 2√(a/b))

Теперь заметим, что a + 1/b ≥ 2√(a/b) (это следует из неравенства арифметического и гармонического средних). Таким образом:

√((a² + 1)(1 + b)) ≥ √(2√(a/b) + 2√(a/b))

√((a² + 1)(1 + b)) ≥ 2√(2√(a/b))

Теперь возведем обе стороны неравенства в квадрат:

(a² + 1)(1 + b) ≥ 4√(a/b)

Таким образом, мы доказали исходное неравенство:

(а² + b)(1/a + 1/b²) ≥ 4√(a/b)

Таким образом, неравенство верно для произвольных чисел а и b.