Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2, y=-2​

Answer 1

Построил график, и с помощью него написал интеграл

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 и y = -2, мы должны найти точки пересечения этих двух кривых.

Для начала найдем точки пересечения, приравняв уравнения:

-x^2 = -2

Перенеся все в левую сторону, получим квадратное уравнение:

x^2 - 2 = 0

Решим его с помощью квадратного корня:

x = ±√2

Таким образом, получаем две точки пересечения: (-√2, -2) и (√2, -2).

Теперь нарисуем график этих двух кривых и найдем площадь фигуры, ограниченной ими:

diffCopy code
      ^
      |
-2 __|____________________
    |                    |
    |                    |
    |                    |
    |                    |
    |____________________|
             -√2       √2     →

Мы видим, что фигура представляет собой параболу, опущенную вниз, и отрезок прямой линии между двумя точками (-√2, -2) и (√2, -2).

Таким образом, чтобы найти площадь фигуры, нужно найти площади обеих частей: площадь параболы и площадь прямоугольника.

1. Площадь параболы: Для нахождения площади параболы можно использовать определенный интеграл. В данном случае, поскольку парабола ограничена точками пересечения, мы будем интегрировать от -√2 до √2.

S₁ = ∫-√2, √2dx

Вычислим этот определенный интеграл:

S₁ = [-x^3/3]_(-√2, √2) = -[(√2)^3/3 - (-√2)^3/3] = -[(2√2)/3 - (-2√2)/3] = -[4√2/3] = -4√2/3

2. Площадь прямоугольника: Площадь прямоугольника можно найти, зная его длину и ширину. В данном случае, ширина равна 2 (расстояние между точками -√2 и √2), а высота равна разности значений функций y = -x^2 и y = -2 при x = -√2 (или x = √2).

S₂ = 2 * (y₁ - y₂)

где y₁ = -(-√2)^2 = -2 и y₂ = -2.

Подставим значения:

S₂ = 2 * (-2 - (-2)) = 2 * (-2 + 2) = 2 * 0 = 0

Итак, площадь фигуры ограниченной линиями y = -x^2 и y = -2 равна сумме площади параболы и площади прямоугольника:

S = S₁ + S₂ = (-4√2/3) + 0 = -4√2/3

Поскольку площадь не может быть отрицательной, мы можем просто взять абсолютное значение:

|S| = 4√2/3

Таким образом, площадь фигуры равна 4√2/3 или приблизительно 2,36 единицы площади.