Question

Помогите пожалуйста! Докажите что число 4^2n + 2^2n+1 +1 , n ∈ ℕ является точным квадратом Докажите,что число 4^2 - 2^2n+1 +1 n ∈ ℕ является точным квадратом

Answer 1

4²ⁿ + 2²ⁿ⁺¹+1= (4ⁿ)² + 4ⁿ+1 +1= (4ⁿ)² +2* 4ⁿ*1 +1²=(4ⁿ+1)² - точный квадрат. Доказано.

Answer 2

Для доказательства того, что число 4^(2n) + 2^(2n+1) + 1 является точным квадратом, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг базы: При n = 1, мы имеем 4^(21) + 2^(21+1) + 1 = 16 + 8 + 1 = 25, что является квадратом числа 5.

Шаг индукции: Допустим, что для некоторого k неравенство 4^(2k) + 2^(2k+1) + 1 = (2^k)^2 + 2*2^k + 1 = (2^k + 1)^2 верно.

Тогда рассмотрим случай k + 1: 4^(2(k+1)) + 2^(2(k+1)+1) + 1 = (4^2)^k * 4^2 + 2^2 * 2^(2k+1) + 1 = (16^k) * 16 + 4 * 2^(2k+1) + 1 = (16^k + 4) * 16 + 1 = (2^4)^k + 4 * 2^k + 1 = (2^4)^k + 2^2 * 2^k + 1 = (2^4)^k + 2^k)^2 + 1

Поскольку мы предполагаем, что для k неравенство выполняется, то (2^4)^k + 2^k)^2 + 1 является точным квадратом.

Таким образом, мы доказали, что число 4^(2n) + 2^(2n+1) + 1 является точным квадратом для любого n из множества натуральных чисел.

Что касается второго утверждения, непонятно, какое именно число вы хотите доказать. Если у вас есть правильная формула для второго числа, пожалуйста, уточните её.