Question

Пожалуйста решите sin2x+2sin^2x=2cos2x

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$2 \sin(x) \cos(x) + 2 {\sin}^{2} (x) = 2({\cos}^{2} (x) - {\sin}^{2} (x)) \\ \sin(x) \cos(x) + 2 {\sin}^{2} (x) -{\cos}^{2} (x)=0\\ \tg(x)+ 2 {\tg}^{2} (x) -1=0$

получаем квадратное уравнение относительно tg(x):

$\tg(x)=-1$

$\tg(x)=\frac{1}{2}$

Answer 2

Для решения уравнения sin(2x) + 2sin^2(x) = 2cos(2x), воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Начнем с тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Можно заметить, что можно заменить sin^2(x) на (1 - cos^2(x)):

sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (1 - cos^2(x)) + cos^2(x) = 1 1 - cos^2(x) + cos^2(x) = 1 1 = 1

2. Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

3. Также воспользуемся формулой cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x):

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

4. Подставим выражения для sin(2x) и cos(2x) в исходное уравнение:

2sin(x)cos(x) + 2sin^2(x) = 2(cos^2(x) - sin^2(x))

5. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

2sin(x)cos(x) + 2sin^2(x) - 2(cos^2(x) - sin^2(x)) = 0

6. Упростим уравнение:

2sin(x)cos(x) + 2sin^2(x) - 2cos^2(x) + 2sin^2(x) = 0

7. Объединим подобные слагаемые:

2sin(x)cos(x) + 4sin^2(x) - 2cos^2(x) = 0

8. Теперь выразим sin(x) через cos(x) с помощью тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))

9. Подставим полученное значение sin(x) в уравнение:

2sqrt(1 - cos^2(x))cos(x) + 4(1 - cos^2(x)) - 2cos^2(x) = 0

10. Рассмотрим часть с корнем:

2sqrt(1 - cos^2(x))cos(x)

11. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(2sqrt(1 - cos^2(x))cos(x))^2 = (2cos(x))^2(1 - cos^2(x))

4(1 - cos^2(x))cos^2(x) = 4cos^2(x)(1 - cos^2(x))

12. Упростим:

4cos^2(x) - 4cos^4(x) = 4cos^2(x) - 4cos^4(x)

13. Теперь уравнение выглядит так:

4cos^2(x) - 4cos^4(x) + 4(1 - cos^2(x)) - 2cos^2(x) = 0

14. Уберем скобки:

4cos^2(x) - 4cos^4(x) + 4 - 4cos^2(x) - 2cos^2(x) = 0

15. Упростим:

-4cos^4(x) - 2cos^2(x) + 4 = 0

16. Перенесем все слагаемые на одну сторону:

-4cos^4(x) - 2cos^2(x) + 4 = 0

17. Теперь заметим, что это квадратное уравнение относительно cos^2(x). Пусть z = cos^2(x):

-4z^2 - 2z + 4 = 0

18. Решим это квадратное уравнение:

Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac

a = -4, b = -2, c = 4

D = (-2)^2 - 4*(-4)*4 = 4 - (-64) = 68

Имеем положительный дискриминант, значит, у уравнения два корня:

z1 = (-b + sqrt(D)) / 2a z2 = (-b - sqrt(D)) / 2a

z1 = (2 + sqrt(68)) / (-8) z2 = (2 - sqrt(68)) / (-8)

z1 ≈ -0.11 z2 ≈ 0.61

19. Вернемся к исходной переменной:

cos^2(x) ≈ 0.61

20. Вычислим cos(x):

cos(x) ≈ sqrt(0.61) ≈ 0.78

21. Теперь найдем sin(x):

sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) ≈ sqrt(1 - 0.61) ≈ sqrt(0.39) ≈ 0.62

Таким образом, приближенное решение уравнения sin(2x) + 2sin^2(x) = 2cos(2x) составляет:

cos(x) ≈ 0.78 sin(x) ≈ 0.62

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном решении использовано численное приближение, и полученные значения являются приближенными округленными ответами.