Question

Помогите, пожалуйста Решите уравнения: 1)2cos²x=cosx+1 2)sin²x-sin2x=3cos²x 3)sin(3pi/4 +2x)=√2/2

Answer 1

I sin(3pi/4+2x)=sqrt2/2
X=3pi/4+kp
X=kp

Answer 2

Конечно! Давайте решим данные уравнения по порядку:

1. 2cos²x = cosx + 1

Для удобства, заменим cos²x на (1 - sin²x):

2(1 - sin²x) = cosx + 1

Раскроем скобки:

2 - 2sin²x = cosx + 1

Перенесём все члены в одну сторону:

2sin²x + cosx - 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно sinx. Решим его с помощью квадратного трехчлена:

sinx = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 2, b = 1, c = -1.

sinx = (-1 ± √(1 - 4(2)(-1))) / (2(2)) sinx = (-1 ± √(1 + 8)) / 4 sinx = (-1 ± √9) / 4 sinx = (-1 ± 3) / 4

Таким образом, у нас два возможных значения sinx:

a) sinx = (-1 + 3) / 4 = 2 / 4 = 1 / 2 b) sinx = (-1 - 3) / 4 = -4 / 4 = -1

Для нахождения соответствующих значений cosx, воспользуемся тригонометрической тождеством sin²x + cos²x = 1:

a) sin²x + cos²x = 1 (1/2)² + cos²x = 1 1/4 + cos²x = 1 cos²x = 1 - 1/4 cos²x = 3/4 cosx = ±√(3/4) = ±√3/2

b) sin²x + cos²x = 1 (-1)² + cos²x = 1 1 + cos²x = 1 cos²x = 0 cosx = ±√0 = 0

Таким образом, у нас есть три решения для данного уравнения:

1. x₁ = arcsin(1/2), cosx₁ = √3/2

2. x₂ = π - arcsin(1/2), cosx₂ = -√3/2

3. x₃ = arcsin(-1), cosx₃ = 0

4. sin²x - sin2x = 3cos²x

Заметим, что sin2x = 2sinx*cosx. Подставим это значение в уравнение:

sin²x - 2sinx*cosx = 3cos²x

Перенесём все члены в одну сторону:

sin²x - 3cos²x - 2sinx*cosx = 0

Теперь разложим уравнение на два уравнения, используя тригонометрические тождества sin²x = 1 - cos²