Question

Решите неравенство 3^(2*x) - 7*3^x - 18>0

Answer 1

Ответ: x∈(2;+∞).

Пошаговое объяснение:

3²ˣ-7*3ˣ-18>0

Пусть 3ˣ=t>0    ⇒

t²-7t-18>0

t²-7t-18=0     D=121       √D=11

t₁=9      t₂=-2    ⇒

(t-9)*(t+2)>0

(3ˣ-9)*(3ˣ+2)>0

Так как  3ˣ>0   ⇒   3ˣ+2>0     ⇒

3ˣ-9>0

3ˣ>9

3ˣ>3²    ⇒

x>2.

Answer 2

Для решения данного неравенства сделаем замену: пусть u = 3^x. Тогда неравенство примет вид:

u^2 - 7u - 18 > 0

Факторизуем левую часть неравенства:

(u - 9)(u + 2) > 0

Теперь мы имеем два множителя: (u - 9) и (u + 2). Неравенство будет выполнено, если оба множителя положительны или оба множителя отрицательны.

1. Пусть (u - 9) > 0 и (u + 2) > 0. Тогда получаем два неравенства: u - 9 > 0 и u + 2 > 0. Решая их, получаем: u > 9 и u > -2. Учитывая, что u = 3^x, имеем: 3^x > 9 и 3^x > -2.

   Рассмотрим первое неравенство: 3^x > 9. Мы знаем, что 3^2 = 9, поэтому можно записать: (3^x)^2 > 9. Тогда получаем: 3^(2x) > 3^2. Сокращая степени, получаем: 2x > 2. Разделим обе части на 2: x > 1.

   Рассмотрим второе неравенство: 3^x > -2. Поскольку 3^x всегда положительно, данное неравенство выполняется для всех значений x.

   Итак, в этом случае решение неравенства будет x > 1.

2. Пусть (u - 9) < 0 и (u + 2) < 0. Тогда получаем два неравенства: u - 9 < 0 и u + 2 < 0. Решая их, получаем: u < 9 и u < -2. Учитывая, что u = 3^x, имеем: 3^x < 9 и 3^x < -2.

   Рассмотрим первое неравенство: 3^x < 9. Заметим, что 3^1 = 3, 3^0 = 1 и 3^(-1) = 1/3. Поэтому данное неравенство выполняется для всех значений x < 1.

   Рассмотрим второе неравенство: 3^x < -2. Так как 3^x всегда положительно, данное неравенство не имеет решений.

   Итак, в этом случае решение неравенства будет -∞ < x < 1.

Таким образом, решение исходного неравенства 3^(2x) - 73^x - 18 > 0 будет:

-∞ < x < 1 или x > 1.