Question

Найти частное решение дифференциальных уравнений y''=1/sin^2(2x) при y(п/4)=п/4 y'(п/4)=1

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения y'' = 1/sin^2(2x) с начальными условиями y(π/4) = π/4 и y'(π/4) = 1, мы можем использовать метод вариации постоянных.

1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Однородное уравнение имеет вид y'' = 0. Решением этого уравнения является любая функция вида y(x) = Ax + B, где A и B - произвольные постоянные.

2. Теперь предположим, что частное решение имеет вид y(x) = u(x)(Ax + B), где u(x) - неизвестная функция, которую мы должны найти.

3. Вычислим y' и y'': y' = u(x)(A) + u'(x)(Ax + B) y'' = u''(x)(Ax + B) + 2u'(x)(A)

4. Подставим выражения для y и y'' в исходное уравнение: u''(x)(Ax + B) + 2u'(x)(A) = 1/sin^2(2x)

5. Сгруппируем слагаемые с u(x) и их производными: (A^2 - 2u''(x))x + (2AB - 4Au'(x)) = 1/sin^2(2x)

6. Получившееся уравнение должно выполняться для любого x. Следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равными: A^2 - 2u''(x) = 0 (1) 2AB - 4Au'(x) = 1/sin^2(2x) (2)

7. Решим уравнение (1): A^2 - 2u''(x) = 0 u''(x) = A^2/2

   Решение этого уравнения - это функция вида u(x) = (A^2/4)x^2 + Cx + D, где C и D - произвольные постоянные.

8. Подставим u(x) в уравнение (2) и найдем A, B и u(x): 2AB - 4Au'(x) = 1/sin^2(2x) 2A(A^2/4)x + 2B(A^2/4) - 4A((A^2/4)x + C) = 1/sin^2(2x) (A^3/2)x + (A^2/2)B - (A^3/2)x - 4AC = 1/sin^2(2x) (A^2/2)B - 4AC = 1/sin^2(2x)

   Заметим, что в левой части уравнения не содержится x. Следовательно, (A^2/2)B - 4AC = 0. Отсюда получаем B = 2AC/A^2 = 2C/A.

9. Итак, мы получили, что B = 2C/A. Подставим это обратно в уравнение (2): 2A(2C/A) - 4A((A^2/4)x + C) = 1/sin^2(2x) 4C - A^3x - 4AC = 1/sin^2(2x) -A^3x = 1/sin^2(2x) - 4C + 4AC A^3x = 4C - 4AC - 1/sin^2(2x) A^3x = 4C(1 - A) - 1/sin^2(2x)

   Обозначим 4C(1 - A) = K. Тогда получим: A^3x = K - 1/sin^2(2x)

10. Теперь мы можем найти A, B и C, используя начальные условия y(π/4) = π/4 и y'(π/4) = 1: Подставим x = π/4 в уравнение A^3x = K - 1/sin^2(2x): A^3(π/4) = K - 1/sin^2(π/2) A^3(π/4) = K - 1/1 A^3(π/4) = K - 1 A^3 = 4(K - 1)/(π/4)

Подставим x = π/4 в уравнение y(x) = u(x)(Ax + B): y(π/4) = u(π/4)(A(π/4) + B) = π/4

Подставим x = π/4 в уравнение y'(x) = u(x)(A) + u'(x)(Ax + B): y'(π/4) = u(π/4)(A) + u'(π/4)(A(π/4) + B) = 1

Мы получили систему уравнений: A^3 = 4(K - 1)/(π/4) u(π/4)(A(π/4) + B) = π/4 u(π/4)(A) + u'(π/4)(A(π/4) + B) = 1

Решим эту систему численно или методом итераций для нахождения A, B и C. Затем найденные значения подставим в выражение y(x) = u(x)(Ax + B), чтобы получить частное решение дифференциального уравнения.