Question

Исследовать функцию на экстремум у=6х^2-х^3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=6x^2-x^3,  y'=12x-3x^2, y'=0,   12x-3x^2=0,  3x(4-x)=0,  x=0  или  х=4,

_____0______4_____,  знаки  +   -   +,   0-точка max,    4 -точка  min

Answer 2

Чтобы исследовать функцию на экстремумы, мы должны найти ее производную и найти значения аргументов, при которых производная равна нулю или не существует.

Дана функция: у = 6х^2 - х^3.

1. Найдем производную функции у по переменной х: у' = (6х^2 - х^3)'. Применим правило дифференцирования суммы и разности функций: у' = (6х^2)' - (х^3)'. Применим правило дифференцирования степенной функции и константы: у' = (12х - 3х^2).

2. Найдем значения х, при которых производная у' равна нулю: 12х - 3х^2 = 0. Факторизуем выражение: 3х(4 - х) = 0. Таким образом, мы получаем два значения х: х = 0 и х = 4.

3. Проверим значения х = 0 и х = 4, подставив их в исходную функцию у: При х = 0: у = 6(0)^2 - (0)^3 = 0. При х = 4: у = 6(4)^2 - (4)^3 = 96 - 64 = 32.

Таким образом, мы получаем две точки, где возможно нахождение экстремума: (0, 0) и (4, 32).

Для определения, является ли каждая из этих точек максимумом или минимумом, можно проанализировать вторую производную функции у.

4. Найдем вторую производную функции у: у'' = (у')' = (12х - 3х^2)'. Применим правило дифференцирования степенной функции и константы: у'' = 12 - 6х.

5. Подставим значения х = 0 и х = 4 в у'': При х = 0: у'' = 12 - 6(0) = 12. При х = 4: у'' = 12 - 6(4) = 12 - 24 = -12.

Анализируя значения второй производной, можно сделать следующие выводы:

• При х = 0, у'' > 0, следовательно, точка (0, 0) является минимумом функции.
• При х = 4, у'' < 0, следовательно, точка (4, 32) является максимумом функции.

Итак, функция у = 6х^2 - х^3 имеет минимум в точке (0, 0) и максимум в точке (4, 32).