Question

найдите последнюю цифру �начения выражения:а)1*2+2*3+3*4+...+9*10; б) 1*2+2*3+3*4+...+9*10+10*11+...+2019*2020.

Answer 1

а) 1*2≡2 (mod 10) -эта запись означает, что оба числа дают один остаток при делении на 10.

2*3≡6 (mod 10); 3*4≡2 (mod 10); 4*5≡0 (mod 10); 5*6≡0 (mod 10);

6*7≡2 (mod 10); 7*8≡6 (mod 10); 8*9≡2 (mod 10); 9*10≡0 (mod 10);

При сложении чисел остатки от деления тоже складываются:

1*2+2*3+...+9*10 ≡ 2 + 6 + 2 + 0 + 0+ 2 + 6 + 2 + 0 ≡ 0 (mod 10)

Таким образом, т.к. остаток от деления на 10 равен нулю, последняя цифра - 0.

б) 10*11 + 11*12 +...+19*20 ≡ 1*2+2*3+...+9*10 ≡ 0 (mod 10)

Таким образом, любая сумма десятков вида x0*x1+..+x9*(x+1)0, где x - любое натуральное число, будет давать один и тот же остаток от деления на 10, т.е. 0.

В итоге, последняя цифра и здесь равна 0.

Answer 2

Давайте начнем с а):

а) 12 + 23 + 34 + ... + 910

Мы можем заметить, что каждое слагаемое имеет общий множитель 2:

12 = 2 23 = 6 34 = 12 ... 910 = 90

Теперь можем записать выражение без общего множителя:

2 + 6 + 12 + ... + 90

Мы также можем заметить, что сумма чисел 1, 2, 3, ..., 9 равна:

1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45

Теперь, умножив это на 2, получим сумму выражения без общего множителя:

2 + 6 + 12 + ... + 90 = 2 * (1 + 2 + 3 + ... + 9) = 2 * 45 = 90

Таким образом, последняя цифра значения данного выражения равна 0.

Теперь перейдем к б):

б) 12 + 23 + 34 + ... + 910 + 1011 + ... + 20192020

Мы уже вычислили первую часть этой суммы в пункте а) и знаем, что она равна 90.

Теперь нужно вычислить сумму второй части:

1011 = 110 1112 = 132 ... 2019*2020 = 4080180

Также здесь можем выделить общий множитель 10:

10*(1 + 11 + 12 + ... + 2019) = 10*(1 + 2 + 3 + ... + 2019) + 10*10

Сумма чисел от 1 до 2019 равна:

1 + 2 + 3 + ... + 2019 = (2019 * 2020) / 2 = 2048190

Теперь можем вычислить выражение:

10*(1 + 2 + 3 + ... + 2019) + 1010 = 10 * 2048190 + 1010 = 20481900 + 100 = 20482000

Последняя цифра значения данного выражения равна 0.

Таким образом, как для а), так и для б), последняя цифра значения выражений равна 0.