Question

Пожалуйста, помогите! Вычислить площадь области, ограниченной линиями :x=y, y=2-x²

Answer 1

Ответ: Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для вычисления площади области, ограниченной линиями y = x и y = 2 - x², нужно найти точки их пересечения и интегрировать функцию, представляющую разность этих двух линий.

Сначала найдем точки пересечения:

1. Приравняем y обеих линий, чтобы найти точку пересечения: x = y 2 - x² = x 3x = 2 x = 2/3

Теперь найдем значения y в этих точках:

1. Используем уравнение y = x: y = 2/3

2. Подставим x в уравнение y = 2 - x²: y = 2 - (2/3)² y = 2 - 4/9 y = 14/9

Таким образом, точки пересечения линий - (2/3, 2/3) и (2/3, 14/9).

Теперь можем вычислить площадь области, ограниченной этими двумя линиями. Это будет разность между интегралами этих двух функций на интервале [2/3, 14/9]:

Площадь = ∫(2 - x²)dx - ∫xdx, где верхний предел = 14/9, нижний предел = 2/3

Площадь = ∫(2 - x²)dx - ∫xdx Площадь = [2x - (x³/3)] - [x²/2] = 2x - x³/3 - x²/2

Теперь вычислим площадь:

Площадь = (2 * 14/9) - ((14/9)³/3) - ((14/9)²/2) - (2 * 2/3) + ((2/3)³/3) + ((2/3)²/2) Площадь = 28/9 - 2744/729 - 196/81 - 4/3 + 8/27 + 4/18 Площадь = (25272 - 29952 - 43712 + 972 + 48)/729 Площадь = (-18572)/729 Площадь ≈ -25.48

Площадь области ограниченной линиями y = x и y = 2 - x² примерно равна -25.48 квадратных единиц. Отрицательное значение площади говорит о том, что одна из кривых находится выше другой на рассматриваемом интервале.