Question

Найти производные от функции 1) y=sin^2 (3x^3+2x) 2) y=arcsin4x^3

Answer 1

1) y = sin²(3x³ + 2x)

y' = (sin²(3x³ + 2x))'

Пусть g = sin(3x³ + 2x). По цепному правилу:

y' = (g)' * (sin(3x³ + 2x))' = 2g * cos(3x³ + 2x) * (3x³ + 2x)' =

= 2g * cos(3x³ + 2x) * (3 * 3x² + 2) = 2sin(3x³ + 2x)cos(3x³ + 2x) * (9x² + 2) =

= sin(6x³ + 4x) * (9x² + 2)

2) y = arcsin(4x³)

y' = (arcsin(4x³))'

Пусть g = 4x³. По цепному правилу:

y' = (arcsin(g))' * (4x³)' =

$= \frac{1}{\sqrt{1 - g^2}} * 12x^{2} = \frac{12x^2}{\sqrt{1 - (4x^3)^2}} = \frac{12x^2}{\sqrt{1 - 16x^6}}$

Answer 2

Для нахождения производных данных функций, используем правила дифференцирования.

1. y = sin^2(3x^3 + 2x)

Для нахождения производной этой функции, применим цепное правило дифференцирования:

dy/dx = d/dx[sin^2(3x^3 + 2x)] = 2sin(3x^3 + 2x) * d/dx[sin(3x^3 + 2x)]

Теперь нужно найти производную sin(3x^3 + 2x):

d/dx[sin(3x^3 + 2x)] = cos(3x^3 + 2x) * d/dx[3x^3 + 2x]

Производная 3x^3 + 2x равна 9x^2 + 2.

Подставим это обратно в выражение для dy/dx:

dy/dx = 2sin(3x^3 + 2x) * (9x^2 + 2)

Таким образом, производная функции y = sin^2(3x^3 + 2x) равна:

dy/dx = 2sin(3x^3 + 2x) * (9x^2 + 2)

2. y = arcsin(4x^3)

Для нахождения производной этой функции, используем формулу для производной обратной функции:

dy/dx = 1 / sqrt(1 - (4x^3)^2) * d/dx[4x^3]

Производная 4x^3 равна 12x^2.

Подставим это обратно в выражение для dy/dx:

dy/dx = 1 / sqrt(1 - (4x^3)^2) * 12x^2

Таким образом, производная функции y = arcsin(4x^3) равна:

dy/dx = 12x^2 / sqrt(1 - 16x^6)