Question

1.Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють -0,7 і 5 * 2.Знайдіть коефіцієнти b i c рівняння х2 + bx +с =0, якщо його коренями є числа 9 і -11 * 3.Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта, встановіть які числа є коренями рівняння х2+3х-18 = 0 *

Answer 1

Задание 1

Как нам известно, по теореме Виета сумма корней квадратного уравнения равна $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение: $x_1\cdot x_2 = q$.

$x_1+x_2 = -0,7 + 5 = 4,3$. Следовательно $p = -4,3$.

$x_1 \cdot x_2 = -0,7 \cdot 5 = -3,5$. Следовательно $q = -3,5$.

Однако, в задании требуется составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами. Значит, все показатели нужно умножить на 10. Итак, вот наше квадратное уравнение:

$10x^2 - 43x - 35 = 0$

Задание 2

Как нам известно, по теореме Виета сумма корней квадратного уравнения равна $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение: $x_1\cdot x_2 = q$. Это модификация стандартного квадратного уравнения. Поэтому $p = b$, а $q = c$. Так же мы знаем, что применение теоремы Виета возможно только в том случае, если $a$ (коэффициент перед $x^2$) равен 1. Приступаем к вычислениям.

$x_1 + x_2 = 9 + (-11) = 9 - 11 = -2$.

$x_1 \cdot x_2 = 9 \cdot (-11) = -99$.

Итак, вот наше квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 99 = 0\\\\b = 2\\\\c = -99$

Задание 3

$x^2 + 3x - 18 = 0\\\\x_1 + x_2 = -3\\\\x_1 \cdot x_2 = -18\\\\x_1 = 3\\\\x_2 = -9$

Answer 2

1. Щоб скласти квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами з заданими коренями, ми можемо використати формулу знаходження квадратного рівняння:

Рівняння виглядає наступним чином: x^2 - (сума коренів) * x + (добуток коренів) = 0

Таким чином, для коренів -0,7 і 5, ми маємо: x^2 - ((-0,7) + 5) * x + ((-0,7) * 5) = 0 x^2 - (4,3) * x - 3,5 = 0

2. Знаходження коефіцієнтів b і c рівняння х^2 + bx + с = 0, якщо його коренями є числа 9 і -11:

Знаючи корені, ми можемо скористатись теоремою Вієта, яка говорить нам, що для квадратного рівняння ax^2 + bx + c = 0, сума коренів рівна -b/a, а добуток коренів рівний c/a.

Таким чином, для нашого рівняння з коренями 9 і -11, маємо: Сума коренів = 9 + (-11) = -2 Добуток коренів = 9 * (-11) = -99

Тепер можемо записати рівняння за допомогою коефіцієнтів b і c: x^2 - 2x - 99 = 0

3. Тепер давайте скористаємось теоремою, оберненою до теореми Вієта.

Якщо ми знаємо корені рівняння ax^2 + bx + c = 0, ми можемо знайти саме рівняння за допомогою формули: x^2 - (сума коренів) * x + (добуток коренів) = 0

Для нашого рівняння х^2 + 3х - 18 = 0, маємо: Сума коренів = -3 (знак мінус, оскільки b = 3) Добуток коренів = -18

Тепер можемо записати рівняння з використанням цих значень: x^2 - (-3) * x + (-18) = 0 x^2 + 3x - 18 = 0

Отже, рівняння х^2 + 3х - 18 = 0 має корені, які дорівнюють -3 та 6.