Question

Найти интеграл dx/(1+sinx) (замена t=tg(x/2),sinx=(2t)/(1+t^2),dx=(2dt)/(1+t^2), далее интегрировать полученную дробь) ​

Answer 1

$\int \dfrac{dx}{1+sinx}=\Big[\; t=tg\frac{x}{2}\; ,\; sinx=\dfrac{2t}{1+t^2}\; ,\; dx=\dfrac{2\, dt}{1+t^2}\; \Big]=\\\\\\=\int\dfrac{2\, dt}{(1+t^2)\cdot (1+\frac{2t}{1+t^2})}=\int \dfrac{2\, dt}{t^2+2t+1}=\int \dfrac{2\, dt}{(1+t)^2}=\\\\\\=2\cdot \dfrac{(1+t)^{-1}}{-1}+C=-\dfrac{2}{1+tg\frac{x}{2}}+C$

Answer 2

Давайте начнем с замены переменной t = tg(x/2), что ведет к sin(x) = 2t / (1 + t^2) и dx = 2dt / (1 + t^2). Подставим эти значения в исходный интеграл:

∫ dx / (1 + sin(x)) = ∫ dx / (1 + 2t / (1 + t^2)) = ∫ dx / ((1 + t^2 + 2t) / (1 + t^2)) = ∫ (1 + t^2) dx / (1 + t^2 + 2t)

Теперь у нас есть новый интеграл в переменной t. Для удобства объединим числитель и знаменатель дроби в квадратичный трехчлен:

∫ (1 + t^2) dt / (1 + t^2 + 2t)

Завершим квадрат в знаменателе, добавляя и вычитая 1:

∫ (1 + t^2) dt / (t^2 + 2t + 1 - 1 + 1) = ∫ (1 + t^2) dt / ((t + 1)^2 + 1)

Сделаем замену u = t + 1, тогда du = dt:

∫ (1 + t^2) dt / ((t + 1)^2 + 1) = ∫ (1 + (u - 1)^2) du / (u^2 + 1) = ∫ (1 + u^2 - 2u + 1) du / (u^2 + 1) = ∫ (u^2 - 2u + 2) du / (u^2 + 1)

Разделим на две дроби:

∫ u^2 / (u^2 + 1) du - 2∫ u / (u^2 + 1) du + 2∫ du / (u^2 + 1)

Выполним интегрирование каждой из этих дробей по отдельности:

1. ∫ u^2 / (u^2 + 1) du: Это интеграл арктангенса.

2. -2∫ u / (u^2 + 1) du: Сделаем замену v = u^2 + 1, тогда dv = 2u du.

   -2 * 1/2 ∫ dv / v = -∫ dv / v = -ln|v| + C = -ln|u^2 + 1| + C

3. 2∫ du / (u^2 + 1): Это интеграл арктангенса.

Теперь соберем все вместе:

∫ (1 + t^2) dt / (t^2 + 2t + 1) = atan(u) - ln|u^2 + 1| + 2atan(u) + K

Вспомним, что u = t + 1:

= atan(t + 1) - ln|t^2 + 2t + 2| + 2atan(t + 1) + K

Подставим обратно t = tg(x/2):

= atan(tg(x/2) + 1) - ln|tg(x/2)^2 + 2tg(x/2) + 2| + 2atan(tg(x/2) + 1) + K

Итак, интеграл ∫ dx / (1 + sin(x)) равен:

atan(tg(x/2) + 1) - ln|tg(x/2)^2 + 2tg(x/2) + 2| + 2atan(tg(x/2) + 1) + K