Question

найти интеграл dx/(3sinx+4cosx) (замена t=tg(x/2),sinx=(2t)/(1+t^2),dx=(2dt)/(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2))​

Answer 1

$\int \dfrac{dx}{3sinx+4cosx}=\Big[\; t=tg\dfrac{x}{2},\; sinx=\dfrac{2t}{1+t^2},\; cosx=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\; dx=\dfrac{2\, dt}{1+t^2}\; \Big]=\\\\\\=\int \frac{2\, dt}{(1+t^2)\cdot (\frac{6t}{1+t^2}+\frac{4-4t^2}{1+t^2})}=\int \dfrac{2\, dt}{-2\, (2t^2-3t-2)}\, dt=-\int \, \dfrac{dt}{2(t-2)(t+\frac{1}{2})}=\\\\\\=-\int \Big(\, \dfrac{A}{2t+1}+\dfrac{B}{t-2}\Big)\, dt=Q$

$\dfrac{1}{(2t+1)(t-2)}=\dfrac{A}{2t+1}+\dfrac{B}{t-2}\\\\1=A(t-2)+B(2t+1)\\\\t=2:\; \; B=\frac{1}{2\cdot 2+1}=\frac{1}{5}\\\\t=-\frac{1}{2}:\; \; A=\frac{1}{-\frac{1}{2}-2}=-\frac{2}{5}\\\\\\Q=-\int \Big(\dfrac{-2/5}{2t+1}+\dfrac{1/5}{t-2}\Big)\, dt=\\\\=\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{2}ln|2t+1|-\dfrac{1}{5}\, ln|t-2|+C=\dfrac{1}{5}\cdot ln\Big|\dfrac{2t+1}{t-2}\Big|+C=\\\\=\dfrac{1}{5}\cdot ln\Big|\dfrac{2tg\frac{x}{2}+1}{tg\frac{x}{2}-2}\Big|+C$

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫ dx / (3sinx + 4cosx), используем замену t = tg(x/2). При этом мы также заменим sinx и cosx через t, чтобы выразить dx через dt.

Заменяя sinx и cosx через t, получим:

sinx = (2t) / (1 + t^2) cosx = (1 - t^2) / (1 + t^2)

Также, заменим dx через dt:

dx = (2dt) / (1 + t^2)

Подставим эти значения в интеграл:

∫ dx / (3sinx + 4cosx) = ∫ (2dt) / (1 + t^2) / [3 * (2t) / (1 + t^2) + 4 * (1 - t^2) / (1 + t^2)]

Упростим выражение:

∫ dx / (3sinx + 4cosx) = ∫ (2dt) / (1 + t^2) / [(6t + 4 - 4t^2) / (1 + t^2)]

Разделим числитель и знаменатель дроби под интегралом:

∫ dx / (3sinx + 4cosx) = ∫ (2dt) / (6t + 4 - 4t^2)

Теперь разложим знаменатель на множители:

∫ dx / (3sinx + 4cosx) = ∫ (2dt) / [(2 + 2t)(2 - 2t)]

Разделим числитель на два:

∫ dx / (3sinx + 4cosx) = ∫ dt / [(2 + 2t)(2 - 2t)]

Разделим на константу, чтобы выразить дробь в более удобном виде:

∫ dx / (3sinx + 4cosx) = ∫ (1/4) * (1 / (1 + t))(1 / (1 - t)) dt

Теперь разложим дробь на простейшие слагаемые:

1 / ((1 + t)(1 - t)) = A / (1 + t) + B / (1 - t)

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые нужно найти. Умножим обе части на ((1 + t)(1 - t)):

1 = A(1 - t) + B(1 + t)

Подставим значения t, чтобы найти коэффициенты A и B:

Для t = 1: 1 = A(1 - 1) + B(1 + 1) = 2B Для t = -1: 1 = A(1 + 1) + B(1 - 1) = 2A

Таким образом, получаем A = 1/2 и B = 1/2.

Теперь вернемся к интегралу:

∫ dx / (3sinx + 4cosx) = (1/4) * (1/2) * ∫ (1 / (1 + t))dt + (1/4) * (1/2) * ∫ (1 / (1 - t))dt

∫ dx / (3sinx + 4cosx) = (1/8) * ln|1 + t| - (1/8) * ln|1 - t| + C

Теперь вернемся к исходной переменной x и подставим обратную замену t = tg(x/2):

∫ dx / (3sinx + 4cosx) = (1/8) * ln|1 + tg(x/2)| - (1/8) * ln|1 - tg(x/2)| + C

Таким образом, интеграл ∫ dx / (3sinx + 4cosx) равен:

(1/8) * ln|1 + tg(x/2)| - (1/8) * ln|1 - tg(x/2)| + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.