Question

Найти интеграл dx/(sin^2x*cos^4x) (замена t=tgx)​

Answer 1

$\int \dfrac{dx}{sin^2x\cdot cos^4x}=\int \dfrac{1}{sin^2x}\cdot \dfrac{1}{cos^2x}\cdot \dfrac{dx}{cos^2x}=\int (1+ctg^2x)\cdot (1+tg^2x)\cdot \dfrac{dx}{cos^2x}=\\\\\\=\int \Big(1+\dfrac{1}{tg^2x}\Big)(1+tg^2x)\cdot d(tgx)=\Big[\; t=tgx\; \Big]=\int \dfrac{(1+t^2)^2}{t^2}\, dt=\\\\\\=\int \dfrac{1+2t^2+t^4}{t^2}\, dt=\int \Big(\dfrac{1}{t^2}+2+t^2}\Big)\, dt=-\dfrac{1}{t}+2t+\dfrac{t^3}{3}+C=\\\\\\=-\dfrac{1}{tgx}+2tgx+\dfrac{tg^3x}{3}+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла воспользуемся заменой переменной $t = \tan{x}$.

Сначала выразим $x$ через $t$: $t = \tan{x} \implies x = \arctan{t}$

Теперь продифференцируем обе части уравнения по $t$ для нахождения $dx$: $\frac{d}{dt}(t) = \frac{d}{dt}(\tan{x})$ $1 = \sec^2{x} \cdot \frac{dx}{dt}$ $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sec^2{x}} = \cos^2{x}$

Теперь подставим полученное выражение в исходный интеграл: $\int \frac{dx}{\sin^2{x} \cdot \cos^4{x}} = \int \frac{\cos^2{x} \cdot dx}{\sin^2{x} \cdot \cos^4{x}}$

Теперь заменим выражение в знаменателе с помощью тригонометрических тождеств: $\sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}$ $\cos^4{x} = (\cos^2{x})^2 = (1 - \sin^2{x})^2$

Теперь вернемся к исходному интегралу: $\int \frac{\cos^2{x} \cdot dx}{\sin^2{x} \cdot \cos^4{x}} = \int \frac{\cos^2{x} \cdot dx}{(1 - \sin^2{x})^2}$

Теперь заменим $\sin^2{x}$ через $t$: $\sin^2{x} = \frac{\tan^2{x}}{1 + \tan^2{x}} = \frac{t^2}{1 + t^2}$

Теперь продифференцируем это выражение по $t$, чтобы найти $dx$: $\frac{d}{dt}(\sin^2{x}) = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^2}{1 + t^2}\right)$ $\frac{dx}{dt}\cdot\cos{x} = \frac{2t}{(1 + t^2)^2}$ $dx = \frac{2t\cos{x}}{(1 + t^2)^2} dt$

Теперь вернемся к интегралу и заменим $dx$: $\int \frac{\cos^2{x} \cdot dx}{(1 - \sin^2{x})^2} = \int \frac{\cos^2{x} \cdot \frac{2t\cos{x}}{(1 + t^2)^2} dt}{\left(1 - \frac{t^2}{1 + t^2}\right)^2}$