Question

Вероятность того, что в результате проверки изделие будет признано изделием II сорта, равна 0.3. На контроль поступило 7 изделий. Какова вероятность, что II сорт будет присвоен: а) хотя бы одному изделию; б) указать наивероятнейшее число изделий II сорта и найти соответствующую ему вероятность.

Answer 1

а)

Aₙ = { II сорт присвоен n-ому кол-ву изделий}

P(n > 0) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + P(A₄) + P(A₅) + P(A₆) + P(A₇) = 1 - P(A₀) = C₇⁰ 0.7⁷ * 0.3⁰ = 1 - 0.0823543 = 0.9176457

б) Пусть k - наивероятнейшее число. Тогда

np - q < k < np + p, где n = 7, p = 0.3, q = 0.7.

7*0.3 - 0.7 < k < 7*0.3 + 0.7

1.4 < k < 2.8 => k = 2.

P(A₂) = C₇² 0.7⁵ * 0.3² = 21* 0.16807 * 0.09 = 0.3176523

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением, так как у нас есть два возможных исхода (признано II сортом или нет) и изделия независимы друг от друга.

Пусть X - количество изделий II сорта из 7 проверенных. Тогда вероятность того, что изделие будет признано II сортом (пусть это событие обозначается A), равна P(A) = 0.3.

а) Вероятность, что хотя бы одно изделие будет II сорта (P(X >= 1)), можно найти как дополнение к вероятности того, что ни одно изделие не будет II сорта (P(X = 0)). Используем формулу биномиального распределения:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где n - количество испытаний (в данном случае изделий), k - количество успехов (изделий II сорта), p - вероятность успеха (изделие будет II сорта), C(n, k) - количество комбинаций из n по k.

Тогда вероятность P(X >= 1) = 1 - P(X = 0):

P(X = 0) = C(7, 0) * 0.3^0 * (1 - 0.3)^(7-0) = 1 * 1 * 0.7^7 ≈ 0.0282.

P(X >= 1) ≈ 1 - 0.0282 ≈ 0.9718, или около 97.18%.

б) Наиболее вероятное количество изделий II сорта можно найти как среднее значение биномиального распределения, которое вычисляется по формуле:

Математическое ожидание (μ) = n * p.

В нашем случае:

μ = 7 * 0.3 = 2.1.

Так как изделия не могут быть дробными, наиболее вероятное число изделий II сорта равно 2. Вероятность того, что будет 2 изделия II сорта, вычисляется по формуле биномиального распределения:

P(X = 2) = C(7, 2) * 0.3^2 * (1 - 0.3)^(7-2) ≈ 0.3241, или около 32.41%.