Question

Найти общее решение линейного разностного уравнения x(t+2)+3x(t+1)+2x(t)=(20t+7)*3^t

Answer 1

Xt+2x+3xt+3x+2xt=60t^2+21^2
xt=y
y+2x+3y+3x+2y=60t+21

Answer 2

Для нахождения общего решения линейного разностного уравнения необходимо выполнить несколько шагов.

Данное линейное разностное уравнение имеет вид:

x(t+2) + 3x(t+1) + 2x(t) = (20t + 7) * 3^t

Чтобы решить его, предположим, что x(t) имеет вид степенной функции:

x(t) = A * r^t

где A и r - некоторые константы, которые нужно определить.

1. Подставим предположенное решение x(t) в уравнение:

A * r^(t+2) + 3 * A * r^(t+1) + 2 * A * r^t = (20t + 7) * 3^t

2. Перенесем все слагаемые на одну сторону:

A * r^t * r^2 + 3 * A * r^t * r + 2 * A * r^t - (20t + 7) * 3^t = 0

3. Вынесем общий множитель A * r^t:

A * r^t * (r^2 + 3 * r + 2) - (20t + 7) * 3^t = 0

4. Поскольку это должно быть верно для всех t, то коэффициенты при одинаковых степенях t должны обращаться в нуль:

a) Коэффициент при t^0 (свободный член) должен быть равен нулю:

A * (r^2 + 3 * r + 2) - 7 * 3^0 = 0 A * (r^2 + 3 * r + 2) - 7 = 0 A * (r^2 + 3 * r - 5) = 0

b) Коэффициент при t^1 должен быть равен нулю:

20 * 3^1 = 20 * 3 = 60

5. Таким образом, уравнение принимает вид:

r^2 + 3 * r - 5 = 0

6. Решим это квадратное уравнение для r:

r = (-3 ± √(3^2 - 4 * 1 * -5)) / 2 r = (-3 ± √(9 + 20)) / 2 r = (-3 ± √29) / 2

Итак, получаем два возможных значения для r:

r1 = (-3 + √29) / 2 r2 = (-3 - √29) / 2

Теперь у нас есть два возможных решения для x(t):

x1(t) = A1 * r1^t x2(t) = A2 * r2^t

где A1 и A2 - произвольные константы, которые нужно определить.

Таким образом, общее решение линейного разностного уравнения будет суммой этих двух решений:

x(t) = x1(t) + x2(t) = A1 * r1^t + A2 * r2^t

Вам остается только найти конкретные значения A1 и A2, используя начальные условия или дополнительные ограничения задачи. Если у вас есть дополнительные условия, уточните их, и я помогу вам найти конкретное решение.