Question

Используя формулу Ньютона Лейбница вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2+1 и y=3-x ​

Answer 1

Пределы интегрирования ищем, решая уравнение х²+1=3-х,

х²+х-2=0, по теореме, обратной теореме Виета х=-2, х=1,

Найдем определенный интеграл от -2 до 1, от функции (-х²-1+3-х)=(-х²-х+2), он равен  -х³/3-х²/2+2х, применим теперь формулу Ньютона - Лейбница.

получим -(1/3+1/2-2)+(-8/3 +2+4)=-(1/3+1/2-2+8/3-6)=4.5

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, можно воспользоваться интегралом. Формула Ньютона-Лейбница гласит, что площадь под кривой (проекцией на ось X) между двумя точками x=a и x=b можно вычислить как разность интегралов функции y(x):

S = ∫[a, b] y(x) dx

В данном случае у нас есть две кривые:

1. y = x^2 + 1
2. y = 3 - x

Для того чтобы найти точки пересечения кривых, нужно приравнять их уравнения:

x^2 + 1 = 3 - x

Переносим все в одну сторону:

x^2 + x - 2 = 0

Теперь решаем квадратное уравнение:

x = (-1 ± √(1 + 412)) / 2

x = (-1 ± √(1 + 8)) / 2

x = (-1 ± √9) / 2

Таким образом, получаем два значения x: x₁ = 1 и x₂ = -2.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, нужно вычислить интегралы для каждой кривой в пределах соответствующих значений x:

1. Для кривой y = x^2 + 1: S₁ = ∫[-2, 1] (x^2 + 1) dx

2. Для кривой y = 3 - x: S₂ = ∫[-2, 1] (3 - x) dx

Вычислим интегралы:

1. S₁ = ∫[-2, 1] (x^2 + 1) dx S₁ = (1/3)x^3 + x ∣ [-2, 1] S₁ = [(1/3)(1)^3 + 1] - [(1/3)(-2)^3 + (-2)] S₁ = [(1/3) + 1] - [(-8/3) - 2] S₁ = (4/3) + (14/3) S₁ = 18/3 S₁ = 6

2. S₂ = ∫[-2, 1] (3 - x) dx S₂ = (3x - (1/2)x^2) ∣ [-2, 1] S₂ = [(3*(1) - (1/2)(1)^2)] - [(3(-2) - (1/2)*(-2)^2)] S₂ = [(3 - (1/2))] - [(-6 - 2)] S₂ = (5/2) - (-8) S₂ = 5/2 + 8 S₂ = 18/2 S₂ = 9

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1 и y = 3 - x, равна 6 + 9 = 15 квадратных единиц.