Question

Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями B) y = x^3, x = -1, x = 1, y = 0.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$S=\displaystyle\int\limits^{x_2}_{x_1} {(y_1(x)-y_2(x))} \, dx$

когда мы нарисуем чертеж, то увмдим, что наша фигура состоит из двух совершенно одинаковых по площади фигур.

поэтому мы можем найти, например желтую фигуру и умножить ее на 2. ну, или бирюзовую... но там вычисления немного так себе.. или посчитать каждую в отдельности и сложить

итак, считаем 2 желтых фигуры

для желтой фигуры у нас

$y_1=x^3;$   $y_2=0;$   $x_1=0;$   $x_2=1$

$S=\displaystyle2\int\limits^1_0 {x^3} \, dx =2\frac{x^4}{4} I_0^1 = 2(\frac{1^4}{4}-\frac{0^4}{4} )=2*\frac{1}{4 }= \frac{1}{2} }$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми y = x^3, x = -1, x = 1 и y = 0, мы можем воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, которая гласит:

$S = \int_{a}^{b} f(x)dx$

В данном случае:

• a = -1 (нижний предел интегрирования)
• b = 1 (верхний предел интегрирования)
• f(x) = x^3 (функция, которую мы интегрируем)

Итак, вычислим интеграл:

$S = \int_{-1}^{1} x^3dx$

Сначала найдем первообразную функции x^3. Для этого используем степенное правило интегрирования:

$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$

В данном случае n = 3, поэтому:

$\int x^3 dx = \frac{1}{4}x^4 + C$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$S = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_{-1}^{1}$

Подставим верхний и нижний пределы:

$S = \left[\frac{1}{4}(1)^4\right] - \left[\frac{1}{4}(-1)^4\right]$

$S = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^3, x = -1, x = 1 и y = 0, равна 0.