Question

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной данными линиями, используя формулу Ньютона- Лейбница y= y=0 x=π/6 x=3π/4 Помогите пожалуйста решить с подробностями

Answer 1

Y=3/(sinx)^2
y=0 (ось Ox)
Так как пределы интегрирования в первой четверти, то  вычислим определенный интеграл
[tex] \int\limits^ \frac{3pi}{4} _ \frac{pi}{6} { \frac{3}{(sinx)^2} } \, dx=                      3[tex] \int\limits^ \frac{3pi}{4} _ \frac{pi}{6} { \frac{1}{(sinx)^2} } \, dx=|3pi/4,pi/6(-3ctgx)=-3ctg(3pi/4)-(-3ctg(pi/6)=3+3√3

Answer 2

Конечно, давайте решим задачу. Площадь криволинейной трапеции между графиками функций \(y = \sin(x)\) и \(y = 0\) в пределах от \(x = \frac{\pi}{6}\) до \(x = \frac{3\pi}{4}\).

Для вычисления площади криволинейной трапеции с использованием формулы Ньютона-Лейбница, нам нужно взять интеграл от верхней функции до нижней по указанному диапазону.

Итак, первым шагом определим точки пересечения графиков. У нас есть две функции: \(y = \sin(x)\) и \(y = 0\).

1. \(y = \sin(x)\) 2. \(y = 0\)

Точки пересечения:

\[\sin(x) = 0\]

Отсюда следует, что \(x = 0\) и \(x = \pi\). Но нас интересует интервал \(\left[\frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4}\right]\), поэтому точки пересечения в этом интервале будут:

1. \(x = \frac{\pi}{6}\) 2. \(x = \pi\) 3. \(x = \frac{3\pi}{4}\)

Теперь определим верхнюю и нижнюю функции в пределах данного интервала:

Верхняя функция: \(y = \sin(x)\)

Нижняя функция: \(y = 0\)

Теперь, чтобы найти площадь криволинейной трапеции, мы можем воспользоваться формулой:

\[S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \,dx\]

где: - \(f(x)\) - верхняя функция, - \(g(x)\) - нижняя функция, - \(a\) и \(b\) - пределы интегрирования.

В нашем случае:

\[S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{3\pi}{4}} (\sin(x) - 0) \,dx\]

Теперь найдем интеграл:

\[S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin(x) \,dx\]

Интеграл \(\sin(x)\) можно взять следующим образом:

\[S = \left[-\cos(x)\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{3\pi}{4}}\]

Теперь подставим пределы:

\[S = -\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\]

Упростим значения:

\[S = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, площадь криволинейной трапеции между графиками функций \(y = \sin(x)\) и \(y = 0\) в пределах от \(x = \frac{\pi}{6}\) до \(x = \frac{3\pi}{4}\) равна \(S = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\).