Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА С МАТЕМАТИКОЙ. Вычислить площадь фигуры ограниченной кривыми: y=2/x,y=x+1,x=5

Answer 1

Ответ:

$16 - 2*ln5$

Пошаговое объяснение:

$S = \int\limits^5_1 {((x+1)-2/x)} \, dx = \frac{x^2}{2}+x -2lnx|_{1}^{5} = (\frac{25}{2} +5 -2ln5 ) - ( \frac{1}{2}+1-2ln1 ) = \frac{25}{2} - \frac{1}{2} + 5-1 - 2ln5 = 16 - 2ln5$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми, необходимо найти точки пересечения этих кривых и интегрировать функцию, которая представляет разность между ними.

Для начала найдем точки пересечения кривых. Уравнения этих кривых уже даны:

y = 2/x, y = x + 1, x = 5.

Чтобы найти точки пересечения кривых, приравняем уравнения друг к другу:

2/x = x + 1.

Перенесем все в одну дробь:

2 = x(x + 1).

Раскроем скобки:

2 = x^2 + x.

Приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

x^2 + x - 2 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем либо факторизовать его, либо использовать квадратное уравнение. Для данного случая факторизация более простая:

(x + 2)(x - 1) = 0.

Это дает два значения x:

x1 = -2, x2 = 1.

Теперь подставим найденные значения x обратно в уравнения кривых, чтобы получить соответствующие значения y.

Для x = -2: y = 2/(-2) = -1.

Для x = 1: y = 2/1 = 2.

Таким образом, точки пересечения кривых имеют координаты (-2, -1) и (1, 2).

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Для этого возьмем интеграл от функции y1(x) - y2(x) от x = -2 до x = 1:

Площадь = ∫[от x = -2 до x = 1] (y1(x) - y2(x)) dx.

y1(x) = 2/x, y2(x) = x + 1.

Подставим значения:

Площадь = ∫[-2 до 1] (2/x - (x + 1)) dx.

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение. Однако, интеграл (2/x) требует немного особого подхода. Раскладывая его на сумму, получим:

Площадь = ∫[-2 до 1] (2/x - (x + 1)) dx = ∫[-2 до 1] (2/x) dx - ∫[-2 до 1] (x + 1) dx.

Интеграл ∫(2/x) dx равен 2ln|x|, а интеграл ∫(x + 1) dx равен (x^2/2 + x) + C.

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

Площадь = [2ln|x| - (x^2/2 + x)] от -2 до 1.

Теперь вычисляем площадь:

Площадь = [2ln|1| - ((1^2/2 + 1)))] - [2ln|-2| - ((-2^2/2 + (-2)))].

Подсчитываем:

Площадь = [2ln(1) - (1/2 + 1)] - [2ln(2) - (2/2 - 2)].

Площадь = [2(0) - (3/2)] - [2(ln(2) - 1)].

Площадь = -3/2 - 2ln(2) + 2.

Итак, площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, равна -3/2 - 2ln(2) + 2 (приближенное значение).