Question

619. Вычислите площадь сферы, если ее уравнение имеет вид: в) (x-1)²+(y+1)²+ (z– 2) ² = 16; г) х² – 2x+y²+2y+z²-4z=3.​Помогите пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

в) 64π; г) 36π

Пошаговое объяснение:

Площадь сферы можно найти по формуле S=4πR². То есть перед подсчётом достаточно найти ее радиус или его квадрат. Уравнение сферы имеет вид (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R². В первом случае сразу видно, что R1²=16. Преобразуем второе уравнение:

х²-2х+у²+2у+z²-4z=3

(x²-2x+1)+(y²+2y+1)+(z²-4z+4)=3+1+1+4

(x-1)²+(y+1)²+(z-2)²=9

Имеем R2²=9

Тогда S1=4πR1²=4π×16=64π; S2=4πR2²=4π×9=36π

Answer 2

Для вычисления площади сферы по её уравнению нам необходимо найти радиус этой сферы.

а) Уравнение сферы имеет вид: (x-1)² + (y+1)² + (z-2)² = 16

Сравним данное уравнение с каноническим уравнением сферы: (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²

Мы видим, что в данном уравнении: a = 1, b = -1, c = 2, r² = 16

Теперь найдем радиус сферы r:

r = √(16) = 4

Площадь сферы S вычисляется по формуле:

S = 4πr²

Подставим значение радиуса r:

S = 4π * 4² = 4π * 16 = 64π

Ответ: Площадь сферы равна 64π.

б) Уравнение сферы имеет вид: x² - 2x + y² + 2y + z² - 4z = 3

Для того чтобы переписать уравнение в канонической форме, нам необходимо дополнить его полными квадратами. Для этого нужно добавить и вычесть определенные значения:

x² - 2x + y² + 2y + z² - 4z = 3

Для x-членов добавим и вычтем (2/2)² = 1:

x² - 2x + 1 - 1 + y² + 2y + z² - 4z = 3

Для y-членов добавим и вычтем (2/2)² = 1:

x² - 2x + 1 - 1 + y² + 2y + 1 - 1 + z² - 4z = 3

Для z-членов добавим и вычтем (4/2)² = 4:

x² - 2x + 1 - 1 + y² + 2y + 1 - 1 + z² - 4z + 4 - 4 = 3

Теперь можем переписать уравнение в канонической форме:

(x² - 2x + 1) + (y² + 2y + 1) + (z² - 4z + 4) - 4 = 3

(x - 1)² + (y + 1)² + (z - 2)² = 7

Теперь у нас уравнение имеет тот же вид, что и в пункте а). Радиус сферы в данном случае равен:

r = √(7)

Площадь сферы S вычисляется по формуле:

S = 4πr²

Подставим значение радиуса r:

S = 4π * (√(7))² = 4π * 7 = 28π

Ответ: Площадь сферы равна 28π.