Question

Прямоугольник со сторонами 3 см и 9см вращается около прямой, находящейся на расстоянии 2см от большей стороны. Вычислить объём полученного тела вращения.

Answer 1

Ответ:

593,46 см³

Пошаговое объяснение:

По-сути получаем цилиндр радиусом 5 см и высотой 9 см, из которого вынут цилиндр радиусом 2 см и высотой 9 см.

Объем такой фигуры будет равен:

V = пи×5²×9 - пи×2²×9 = 9×пи×(5²-2²) ≈ 593,46 см³

Answer 2

Чтобы вычислить объем тела вращения, образованного вращением прямоугольника вокруг заданной прямой, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек. Этот метод заключается в том, что мы представляем вращаемую фигуру (прямоугольник) как бесконечное количество тонких цилиндров, у которых радиус равен расстоянию от цилиндра до оси вращения, а высота равна ширине прямоугольника. Затем мы находим объем каждого такого цилиндра и интегрируем их, чтобы получить итоговый объем.

Дано: Большая сторона прямоугольника (длина): 9 см Меньшая сторона прямоугольника (ширина): 3 см Расстояние от прямой до большей стороны: 2 см

Шаги для вычисления объема:

1. Найдем высоту каждого цилиндра, которая равна ширине прямоугольника (3 см).
2. Найдем радиус каждого цилиндра, который равен расстоянию от прямой до большей стороны (2 см).
3. Вычислим объем каждого цилиндра: V_цилиндра = π * r^2 * h, где r - радиус, h - высота цилиндра.
4. Проинтегрируем объем всех цилиндров по всей окружности прямоугольника (от 0 до 2π, так как прямоугольник делает полный оборот).

Вычисления:

Высота цилиндра (h) = 3 см Радиус цилиндра (r) = 2 см

Объем одного цилиндра (V_цилиндра) = π * (2 см)^2 * 3 см ≈ 12π см³

Теперь проинтегрируем объем всех цилиндров по всей окружности прямоугольника:

Общий объем (V_общий) = ∫(от 0 до 2π) V_цилиндра dθ

V_общий = ∫(от 0 до 2π) 12π см³ dθ V_общий = 12π см³ * ∫(от 0 до 2π) dθ V_общий = 12π см³ * [θ] (от 0 до 2π) V_общий = 12π см³ * (2π - 0) V_общий = 24π² см³ ≈ 75.4 см³

Ответ: объем полученного тела вращения составляет приблизительно 75.4 см³.