Question

В финале математического боя принимало участие 14 человек. В перерыве Вася поспорил с Петей, что он сможет между натуральными числами от 1 до 2018 расставить знаки “ + “ и “ - “ так, что получит число, делящееся на следующие семь чисел: 136, 15, 154, 120, 104, 140, 42 а) Прав ли Вася? б) Сколько существует таких чисел, если Вася будет расставлять знаки “ + “ и “ - “, между числами от 1 до 6054? ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

а) Сумма чисел о 1 до 2018 равна 2019·2018÷2=2019·1009=2037171-число нечётное. При замене некоторых знаков “ + “  на “ - “ чётность не изменится. Значит данное число не будет делится на числа 136, 154, 120, 104, 140, 42

Деление на 15 возможно. Например,

1+2-3+4+5+6+7+8+...+2018=2037165=135811·15

б) Вот с этим заданием не всё понятно. Про какие числа идёт речь. Про те же что и в задании а)? Тогда решение такое же, так как сумма чисел от 1 до 6054 равна 6055·3027=18328485. И деление возможно только на 15. Например, 1+2+3+4+5+6+7+8+...+6054=18328485=1221899·15

Answer 2

Давайте рассмотрим этот вопрос по порядку.

а) Чтобы определить, прав ли Вася, нужно понять, существует ли такая возможность расставить знаки "+" и "-" между натуральными числами от 1 до 2018, чтобы получить число, делящееся на каждое из указанных семи чисел: 136, 15, 154, 120, 104, 140, 42.

Для таких задач обычно используется метод китайской теоремы об остатках (КТО). Согласно КТО, чтобы получить число, делящееся на несколько попарно взаимно простых чисел, можно рассматривать остатки от деления на каждое из этих чисел. В данном случае, все семь чисел 136, 15, 154, 120, 104, 140, 42 являются попарно взаимно простыми.

Это означает, что можно выбрать остатки для каждого из этих чисел так, чтобы получить решение системы сравнений с разрешением, равным их произведению:

x ≡ a₁ (mod 136) x ≡ a₂ (mod 15) x ≡ a₃ (mod 154) x ≡ a₄ (mod 120) x ≡ a₅ (mod 104) x ≡ a₆ (mod 140) x ≡ a₇ (mod 42)

Где a₁, a₂, ..., a₇ - выбранные остатки для каждого числа. С помощью КТО можно найти такие остатки. Однако их множество и комбинации могут быть разными.

б) Количество возможных комбинаций знаков "+" и "-" в интервале от 1 до 6054 можно вычислить следующим образом:

Для каждого числа от 1 до 6054 есть два возможных знака: "+" или "-". Таким образом, всего возможных комбинаций знаков будет 2^6054.

Пожалуйста, обратите внимание, что вычисление точного числа комбинаций для такого большого числа может быть сложной задачей. Это огромное число, и его представление может быть крайне громоздким.