Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2−5x+6 и y=x−2

Answer 1

Ответ:

$y = (x - \frac{5}{2} ) {}^{2} - \frac{1}{4}$

$x = 2$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность функций между этими точками. Таким образом, мы найдем площадь между двумя кривыми.

1. Сначала найдем точки пересечения линий, приравняв уравнения: y = x^2 - 5x + 6 y = x - 2

2. Поставим уравнения в равенство и решим уравнение второй степени: x^2 - 5x + 6 = x - 2

3. Перенесем все в левую сторону: x^2 - 6x + 8 = 0

4. Решим уравнение с помощью квадратного корня или факторизации: x = (6 ± √(6^2 - 418)) / 2 x = (6 ± √(36 - 32)) / 2 x = (6 ± √4) / 2 x = (6 ± 2) / 2

5. Найдем значения x: a) x = (6 + 2) / 2 = 4 b) x = (6 - 2) / 2 = 2

Таким образом, точки пересечения кривых - (4, 2) и (2, 0).

Теперь вычислим площадь между кривыми, интегрируя разность функций от x = 2 до x = 4:

Площадь = ∫[a, b] (y1 - y2) dx = ∫[2, 4] ((x^2 - 5x + 6) - (x - 2)) dx = ∫[2, 4] (x^2 - 5x + 6 - x + 2) dx = ∫[2, 4] (x^2 - 6x + 8) dx

Теперь проинтегрируем: Площадь = [(x^3/3) - (3x^2) + 8x] |[2, 4] Площадь = [(4^3/3) - (34^2) + 84] - [(2^3/3) - (32^2) + 82] Площадь = [(64/3) - 48 + 32] - [(8/3) - 12 + 16] Площадь = [(64/3) - 16] - [(8/3) - 12] Площадь = 48/3 - 4/3 Площадь = 44/3 или около 14.67 (в приближенном виде).

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 5x + 6 и y = x - 2, составляет примерно 14.67 квадратных единиц.