Question

Геометрическая прогрессия задана последовательностью 27; 9; 3; … Найдите знаменатель, 10 член, сумму первых 7 членов геометрической прогрессии.

Answer 1

$q=\frac{9}{27} =\frac{1}{3}$

$b_{10}=27*(\frac{1}{3}) ^9=27*\frac{1}{19683} =\frac{1}{729}$

$S_7=\frac{b_1}{1-q}$(т.к. прогрессия бесконечно убывающая)

$S_7=\frac{27}{1-\frac{1}{3} } =27*\frac{3}{2} =40,5$

Answer 2

Для того чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, необходимо найти отношение любых двух последовательных членов.

Отношение второго члена к первому: $\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$.

Отношение третьего члена ко второму: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Мы видим, что отношение между любыми двумя последовательными членами равно $\frac{1}{3}$. Значит, знаменатель геометрической прогрессии равен $\frac{1}{3}$.

Для нахождения 10-го члена геометрической прогрессии, можно использовать формулу общего члена геометрической прогрессии:

$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$,

где $a_n$ - n-ый член прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии, $n$ - номер члена прогрессии.

Для 10-го члена, $n = 10$, $a_1 = 27$, $r = \frac{1}{3}$:

$a_{10} = 27 \times \left( \frac{1}{3} \right)^{(10-1)}$.

$a_{10} = 27 \times \left( \frac{1}{3} \right)^9$.

$a_{10} = 27 \times \frac{1}{19683}$.

$a_{10} = \frac{27}{19683}$.

Теперь найдем сумму первых 7 членов геометрической прогрессии. Для этого воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 \times (1 - r^n)}{1 - r}$,

где $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии.

Для 7 членов, $n = 7$, $a_1 = 27$, $r = \frac{1}{3}$:

$S_7 = \frac{27 \times (1 - \left( \frac{1}{3} \right)^7)}{1 - \frac{1}{3}}$.

$S_7 = \frac{27 \times (1 - \frac{1}{2187})}{\frac{2}{3}}$.

$S_7 = \frac{27 \times \frac{2186}{2187}}{\frac{2}{3}}$.

$S_7 = \frac{27 \times 2186}{2187} \times \frac{3}{2}$.

$S_7 = \frac{3 \times 2186}{81}$.

$S_7 = \frac{6564}{81}$.

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен $\frac{1}{3}$, 10-ый член прогрессии равен $\frac{27}{19683}$, а сумма первых 7 членов геометрической прогрессии равна $\frac{6564}{81}$ 0 0