Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=4-x^2,y=2-x​

Answer 1

$S = \int\limits^{2}_{-1} {4-x^2-2+x} \, dx = \int\limits^{2}_{-1} {-x^2 +x + 2} \, dx = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x = \frac{-8}{3} + 2 + 4 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} +2 = 5\\ Answer: S = 5$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения и затем проинтегрировать разность функций для определения площади между ними.

Сначала найдем точки пересечения линий y = 4 - x^2 и y = 2 - x:

4 - x^2 = 2 - x.

Приведем это уравнение к квадратичному виду:

x^2 - x - 2 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение:

(x - 2)(x + 1) = 0.

Отсюда получаем два корня: x = 2 и x = -1.

Теперь мы можем записать интеграл для вычисления площади между кривыми:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) - это верхняя функция (в данном случае y = 4 - x^2), g(x) - нижняя функция (в данном случае y = 2 - x), a и b - точки пересечения (x = -1 и x = 2).

S = ∫[-1, 2] ((4 - x^2) - (2 - x)) dx = ∫[-1, 2] (2 + x - x^2) dx.

Разложим интеграл на части:

S = ∫[-1, 2] 2 dx + ∫[-1, 2] x dx - ∫[-1, 2] x^2 dx.

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫ 2 dx = 2x ∣ -1 до 2 = 2(2) - 2(-1) = 4 + 2 = 6.

∫ x dx = (1/2)x^2 ∣ -1 до 2 = (1/2)(2^2) - (1/2)(-1)^2 = 2 - 0.5 = 1.5.

∫ x^2 dx = (1/3)x^3 ∣ -1 до 2 = (1/3)(2^3) - (1/3)(-1)^3 = 8/3 + 1/3 = 3.

Теперь сложим полученные значения:

S = 6 + 1.5 - 3 = 4.5.

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 - x^2 и y = 2 - x, равна 4.5 квадратных единиц.