Question

В папке находятся 4 документа: 2 заявления и 2 анкеты. В заявлении могут быть ошибки с вероятностью 0,1. В анкете могут быть ошибки с вероятностью 0,2. Найти распределение числа документов с ошибками в папке и его математическое ожидание. ​

Answer 1

Пусть p=0.1, q=0.2. Вероятность того, что ошибок нет, равна (1-p)^2(1-q)^2. Одно число нашли. Аналогично находим остальные. Скажем, когда ошибок две? Тут разбор случаев: если обе ошибки в заявлениях, то будет p^2(1-q)^2. Если обе в анкетах, то (1-p)^2q^2. А если одна в заявлении и одна в анкете, то берём p(1-p)q(1-q) и умножаем на 4, так как тут 4 равновероятных случая расположения ошибок. Полученные числа складываем.

Answer 2

Давайте рассмотрим распределение числа документов с ошибками в папке. Возможные варианты для числа документов с ошибками будут: 0, 1, 2, 3 и 4.

Для этого мы можем воспользоваться биномиальным распределением, так как каждый документ является независимым событием, и вероятность ошибки для каждого документа постоянна.

Пусть:

• p1 - вероятность ошибки в заявлении (0,1)
• p2 - вероятность ошибки в анкете (0,2)
• n - общее число документов в папке (4)

Теперь давайте рассчитаем вероятность для каждого случая и математическое ожидание.

1. Все документы без ошибок (0 документов с ошибками): P(0) = (1 - p1)^2 * (1 - p2)^2

2. Ровно 1 документ с ошибкой: P(1) = (p1) * (1 - p1)^1 * (1 - p2)^2 + (1 - p1)^2 * (p2) * (1 - p2)^1

3. Ровно 2 документа с ошибками: P(2) = (p1) * (p2) * (1 - p1)^1 * (1 - p2)^1 + (p1) * (1 - p1)^1 * (p2) * (1 - p2)^1 + (1 - p1)^1 * (p2) * (p1) * (1 - p2)^1 + (1 - p1)^1 * (1 - p2)^1 * (p1) * (p2)

4. Ровно 3 документа с ошибками: P(3) = (p1) * (p2) * (p1) * (1 - p2)^1 + (p1) * (p2) * (1 - p1)^1 * (p2) + (1 - p1)^1 * (p2) * (p1) * (p2) + (p1) * (1 - p2)^1 * (p1) * (p2)

5. Все документы с ошибками (4 документа с ошибками): P(4) = (p1) * (p2)^2 * (p1) + (p1)^2 * (p2) * (p2)

Теперь вычислим вероятности для заданных значения p1 и p2 (0.1 и 0.2 соответственно) и найдем математическое ожидание:

P(0) = (0.9)^2 * (0.8)^2 ≈ 0.5184 P(1) = 2 * 0.1 * (0.9) * (0.8)^2 + 2 * (0.9)^2 * 0.2 * 0.8 ≈ 0.3456 P(2) = 2 * 0.1 * 0.2 * (0.9) * (0.8) + 2 * 0.1 * (0.9) * 0.2 * (0.8) + 2 * (0.9) * 0.2 * 0.1 * (0.8) + 2 * (0.9) * (0.8) * 0.1 * 0.2 ≈ 0.1152 P(3) = 2 * 0.1 * 0.2 * 0.1 * (0.8) + 2 * 0.1 * (0.9) * 0.2 * 0.2 + 2 * (0.9) * 0.2 * 0.1 * 0.2 + 2 * 0.1 * (0.8) * 0.1 * 0.2 ≈ 0.0192 P(4) = 0.1 * (0.2)^2 * 0.1 + (0.1)^2 * 0.2 * 0.2 ≈ 0.0016

Теперь вычислим математическое ожидание:

E(X) = Σ [x * P(x)], где x - число документов с ошибками.

E(X) = 0 * P(0) + 1 * P(1) + 2 * P(2) + 3 * P(3) + 4 * P(4) E(X) ≈ 0 * 0.5184 + 1 * 0.3456 + 2 * 0.1152 + 3 * 0.0192 + 4 * 0.0016 E(X) ≈ 0.3456 + 0.2304 + 0.0576 + 0.0576 + 0.0064 E(X) ≈ 0.6976

Итак, распределение числа документов с ошибками в папке будет примерно следующим:

• 0 документов с ошибками: ~51.84%
• 1 документ с ошибкой: ~34.56%
• 2 документа с ошибками: ~11.52%
• 3 документа с ошибками: ~1.92%
• 4 документа с ошибками: ~0.16%

Математическое ожидание числа документов с ошибками в папке составляет около 0.6976 документов.