Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА. СРОЧНО НУЖНО!! ДОКАЖИТЕ ДОЖДЕСТВО Sin^4α –Cos^4 α\sinα-cosα=sinα+cosα

Answer 1

Ответ:

=sin a+ cos a

Пошаговое объяснение:

$\frac{ {sin}^{4} \alpha - {cos}^{4} \alpha}{sin \alpha - cos \alpha} =$

$= \frac{ {( {sin}^{2} \alpha})^{2} - {(cos}^{2} \alpha)^{2}}{sin \alpha - cos \alpha } =$

$= \frac{( {sin}^{2} \alpha - {cos \alpha }^{2}) \times ( {sin}^{2} \alpha + {cos}^{2} \alpha) }{sin \alpha - cos \alpha} =$

$= \frac{( {sin}^{2} \alpha - {cos}^{2} \alpha ) \times1 }{sin \alpha - cos \alpha} =\frac{(sin \alpha - cos \alpha )\times(sin \alpha+cos \alpha )}{sin \alpha - cos \alpha} =$

$= sin \alpha + cos \alpha$

Answer 2

Давайте разберемся с данным выражением:

$\frac{\sin^4\alpha - \cos^4\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$

Для начала, давайте рассмотрим числитель $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha$. Мы можем воспользоваться формулой разности квадратов:

$\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)$

Заметим, что $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ (это тождество Пифагора), а $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$ (так как $\sin^2\alpha$ и $\cos^2\alpha$ оба находятся в пределах от 0 до 1).

Теперь числитель принимает вид:

$\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)$

Следующим шагом давайте упростим знаменатель $\sin\alpha - \cos\alpha$:

$\sin\alpha - \cos\alpha = -(\cos\alpha - \sin\alpha)$

С учетом этого, наше исходное выражение может быть переписано как:

$\frac{\sin^4\alpha - \cos^4\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{-(\cos\alpha - \sin\alpha)}$

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha$ и $\cos\alpha - \sin\alpha$:

$\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -\cos(2\alpha)$ $\cos\alpha - \sin\alpha = -\sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$

Подставляя эти выражения обратно в наше уравнение, получим:

$\frac{\sin^4\alpha - \cos^4\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{-\cos(2\alpha)}{-\sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\cos(2\alpha)}{\sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}$

Сейчас давайте посмотрим на правую часть исходного уравнения, $\sin\alpha + \cos\alpha$. Мы можем преобразовать эту сумму, воспользовавшись формулой синуса для суммы углов:

$\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$

Теперь мы видим, что правая часть исходного уравнения также равна $\sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$