Question

Найти производную 3x y= ---------- x²+3

Answer 1

Ответ:

1)y=3x

y'=3

2)y= x^2+3

y'=2x

Answer 2

Для нахождения производной функции по переменной x, данной выражением:

$3xy = \frac{3x}{x^2+3}$

мы воспользуемся правилом дифференцирования частного функций. Обозначим левую часть как $u$ и правую часть как $v$:

$u = 3xy$

$v = \frac{3x}{x^2+3}$

Затем, воспользуемся правилом дифференцирования произведения $uv$, которое можно записать как:

$(uv)' = u'v + uv'$

Теперь вычислим производные:

$u' = 3y + 3x \cdot \frac{dy}{dx}$ (по правилу производной произведения)

$v' = \frac{(3x)'(x^2+3) - 3x(x^2+3)'}{(x^2+3)^2}$ (по правилу дифференцирования частного)

Рассчитаем производные $u'$ и $v'$:

$u' = 3y + 3x \cdot \frac{dy}{dx}$

$v' = \frac{3(x^2+3) - 3x \cdot 2x}{(x^2+3)^2} = \frac{3x^2+9-6x^2}{(x^2+3)^2} = \frac{9-3x^2}{(x^2+3)^2}$

Теперь объединим результаты и найдем производную исходной функции:

$(3xy)' = u'v + uv'$

$3y + 3x \cdot \frac{dy}{dx} = 3xy \cdot \frac{9-3x^2}{(x^2+3)^2}$

Теперь выразим $\frac{dy}{dx}$:

$3y + 3x \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{3xy(9-3x^2)}{(x^2+3)^2}$

$3x \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{3xy(9-3x^2)}{(x^2+3)^2} - 3y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3xy(9-3x^2)}{3x(x^2+3)^2} - \frac{3y}{3x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{xy(9-3x^2)}{x(x^2+3)^2} - \frac{y}{x}$